2024年中考数学二轮复习高频考点突破训练——圆与三角形的综合

2024年九年级中考数学二轮复习高频考点突破训练——圆与三角形的综合 1.如图,在等边三角形中. (1)请用尺规作图画出三角形的外接圆(保留作图痕迹); (2)若,求的半径. 2.如图,内接于,,与关于直线对称,交于点E. (1)求证:是的切线. (2)连接,若,,求的长. 3. (1)学习心得:小刚同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题,如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.例如:已知,如图1,在ABC中,AB=AC,∠BAC=90 ,D是ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心,AB为半径作辅助圆⊙A,则点C、D必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,而∠BDC是圆周角,从而可容易得到∠BDC= .(直接写答案) (2)问题解决:如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90 ,∠BDC=25 ,求∠BAC的度数; (3)问题拓展:如图3,在ABC中,∠BAC=45 ,AD是BC边上的高,且BD=4,CD=2,求AD的长. 4.如图,在Rt ABC中,∠C=90 ,∠B=30 . (1)用直尺和圆规作⊙O,使圆心O在BC边,且⊙O经过A,B两点上(不写作法,保留作图痕迹); (2)连接A0,求证:AO平分∠CAB. 5.如图,O是 的内心,BO的延长线和 的外接圆相交于D,连结DC、DA、OA、OC,四边形OADC为平行四边形. (1)求证: ≌ . (2)若 ,求阴影部分的面积. 6.如图,在 ABC中,AC=BC,∠ACB=90 ,D为AC延长线上一点,连接BD,AE⊥BD于点E. (1)记 ABC得外接圆为⊙0, ①请用文字描述圆心0的位置; ②求证:点E一定在⊙0上. (2)将射线AE绕点A顺时针旋转45 后,所得到的射线与BD延长线交于点F,连接CF,CE. ①依题意补全图形; ②用等式表示线段AF,CE,BE的数量关系,并证明. 7.定义:若两个三角形中,有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等,但不是全等三角形,我们就称这两个三角形为偏等三角形. (1)如图1,点C是的中点,∠DAB是所对的圆周角,AD>AB,连结AC、DC、CB,试说明 ACB与 ACD是偏等三角形. (2)如图2, ABC与 DEF是偏等三角形,其中∠A=∠D,AC=DF,BC=EF,则∠B+∠E= .请填写结论,并说明理由. (3)如图3, ABC内接于⊙O,AC=4,∠A=30 ,∠B=105 ,若点D在⊙O上,且 ADC与 ABC是偏等三角形,AD>CD,求AD的值. 8.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.如图,将 ABC放在每个小正方形边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上. (1)用无刻度直尺画出 ABC的最小覆盖圆的圆心(保留作图痕迹); (2)该最小覆盖圆的半径是 . 9.阅读下列材料,并完成相应的学习任务: 我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.由于三角形的三条高(或高所在的直线)相交于一点,因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心.下面我们以锐角三角形为例,证明三角形的三条高相交于一点. 如图,在 ABC中,AD,BE分别是BC,AC边上的高,且AD与BE相交于点P.连接CP并延长,交AB于点F. 求证:CF⊥AB. 证明:分别过点A,B,C作它们所对边的平行线,三条平行线两两相交于点M,N,Q.分别连接PM,PN,PQ. ∵MNBC,MQAB,NQAC, ∴四边形MABC,四边形ANBC,四边形ABQC都是平行四边形. ∴BC=AM=AN,AC=BN=BQ,AB=MC=CQ. ∵AD⊥BC, ∴∠MAD=∠ADB=90 ,即AD⊥MN. ∴PM=PN. … 学习任务: (1)请将上面剩余的证明过程补充完整; (2)点P是 MNQ的 .(填出字母代号即可) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 (3)若∠CAB=40 ,则∠MPN= . 10.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”,三斜即指三角形的三条边长,可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示,其形式为:设 , , 为三角形三边, 为面积,则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一. 而在文明古国古希腊,也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式,若设 (周长的一半),则 ② (1)尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致,请你用以5,7,8为三边构成的三角形,分别验证它们的面积值; (2)问题探究.经过验证,你发现公式①和②等价吗?若等价,请给出一个一般性推导过程(可以从①②或者②① ; (3)问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你