2024届高三数学复习微专题29：导数与不等式的证明

微专题29导数与不等式的证明 一、基本技能练 1.已知函数x)=x2一ax十lnx.若函数x)有两个极值点，2，求证：1十2) <-2+ln2. 2.(2023·济南质检改编)证明：elnx+2ex一1x1. 3.(2023·南昌模拟)已知函数F(x)=eax+lna(a>0),G(x)=一lnx. (1)若F()与Gx)在x=1处有相同的切线，求实数a的值： (2)当a>1,x>1时，求证：Fx)一Gx)>1. 4.(2023·新高考I卷)已知函数x)=a(e+a)一x. (1)讨论x)的单调性； (2)证明：当a>0时，fx)>2lna十32. 5.(2023·郑州二模改编)已知函数x)=x2nx,证明：x)≥x一1. 6.(2023·天津模拟改编)已知函数x)=1nxx一k, (1)若x)≤0恒成立，求实数k的取值范围： (2)证明：ln12+ln13+…+In In<le alvs4 alcol(f111n(n>1). 7.(2023·荆州调研改编)已知函数x)=lnex若x∈(0,1)，求证：f (x)<alvs4alicol(1+f1x)-x2)ex. 8.已知函数x)=e-a-ln(x十a).当a≤1时，证明：x)>0. 二、创新拓展练 9.(2023·安阳二模)已知函数x)=(x一1)er一anx的最小值为0. (1)求实数a的值： (2)证明：e+e)2+3e3+…+2022e2022+2023e2023>202420251n2025. 参考答案 1.证明x)的定义域为(0，十oo), f(x)=2x-a+Ix=2x2-ax+Ix, 由题意得2x2一ax十1=0的两个不等的实根为1，x2 则☑=a2-8>0,a212), 解得a>22 故f+x2)=(1+x2)2-a(+x2)+ln(x1+x2)=a24-a22+lna2=-a24+lna2. 设g(a=-a24十lna2(a>22) 则g(a)=-a2+1a=2-a22a0, 故g(a)在(22，+oo)上单调递减， 所以g(a)g(22)=-2+ln2. 因此十x2大-2+n2. 2.证明不等式enx+2ex一1x>1, 等价于ex-lx(exln x-+2>l, 由常用不等式e之x十1，得e-l≥x 即ex-lx之1，故只需证exln x-+2>1, 令fx)=e.xlnx+2(>0), 则fx)=enx十1)， 易得当x∈lalvs4 alcol(0,f1e时，f(x)0, x∈lals4 alcollfle,+o)时，fx)>0, 故x2as4 alcol(fle))=l,等号不同时取到，故原不等式得证. 3.(1)解，G(x)=-1x,∴.G(1)=-1 F)=-eax, ∴.F(1)=-ea-1=-1,解得a=1. (2)证明由题意得F(x)一G(x)=ea一x+lna十lnx, fa)=ea-x+In a+In x(a-1), ,y=ea-x与y=na在(1，十oo)上均单调递增， ∴a)在(1，十o)上单调递增， ..fa)A1)=el-x+In x. 令gw)=el-x+lnx>1), 则g(x)=一e1-+lx=1-xe1一xx 令hx)=1-xel-(x>1), 则h(x)=(x一1)e1-x, 易知当x>1时，(x)>0, ∴.h(x)在(1，十oo)上单调递增， .h(x)>h1)=0,即g'(x)>0, ·g(x)在(1，十oo)上单调递增， ∴.gx)>g1)=1, ∴.a)Pg(1)=1 综上，Fx)一Gx)P1. 4.(1)解f(x)=aer-1,x∈R 当a0时，fx)<0, 所以函数x)在（一ao,十o)上单调递减： 当a>0时，令f)>0,得>-lna, 令f(x)0,得x<-lna, 所以函数x)在（一o,一lna)上单调递减， 在（一lna,十o)上单调递增 综上，当0时，函数x)在（一D,十o)上单调递减； 当a>0时，函数fx)在（一oo,一lna)上单调递减，在（一na,十o)上单调递增 (2)证明法一由(1)得当a>0时，函数x)=a(e+a)一x的最小值为-lna) =a(e-mna+a)+In a=1+a2+In a. 令g(a=1+a2+na-2na-32 =a2-lna-12,a∈(0，+o), 所以g(a）=2a-1a, 令g(a0,得aP22: 令g'(a0,得0<a<2)2, 所以函数g(a)在als4 alcol0,fr2)2)上单调递减， 在as4alco1fr(2)2),+oo)上单调递增， 所以函数g(a)的最小值为gas4 alcol0r2)2=lavs4 al col(r2)2)2-ln2) 2-12=ln20, 所以当a>0时，fx少2血a+32成立. 法二当a>0时，由(1