专题09 二次函数图像与性质（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题09 二次函数图像与性质 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的一般表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图像，能利用函数的图像认识二次函数的性质； 3．会确定二次函数图像的顶点、开口方向和对称轴，并掌握图像的变化情况； 4．能根据已知条件利用二次函数表达式的三种形式（一般式、顶点式、交点式）通过待定系数法确定函数关系式。 考点1：二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 考点2：二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 注：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【题型1：二次函数的定义】 【典例1】（2013·江苏宿迁·校联考二模）下列函数中是二次函数的有（      ） ①y=x＋；②y=3（x－1）2＋2；③y=（x＋3）2－2x2；④ ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2022·江苏泰州·统考一模）已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ． 2．（2020·江苏镇江·校考模拟预测）若是二次函数，则 ； 抛物线的顶点坐标是 ． 3．（2019·江苏镇江·统考一模）已知函数的图像是一条抛物线，则m= . 4．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用t（s）表示移动的时间（），那么： (1)设的面积为y，求y关于t的函数关系式； (2)当的面积为时，沿直线翻折后得到，试判断点是否落在直线上，并说明理由． 【题型2：二次函数的图像】 【典例2】（2023·江苏镇江·统考中考真题）二次函数的最大值为 ． 1．（2023·江苏镇江·统考二模）关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是2 D．当时，y随x的增大而增大 2．（2012·江苏淮安·统考一模）如图，在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（2010·江苏扬州·统考一模）已知二次函数，y与x的部分对应值如表： x … 0 1 3 … y … 1 3 1 … 则下列判断中正确的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当时， D．方程的正根在3与4之间 4．（2012·江苏徐州·中考真题）二次函数的图象经过点（4，3），（3，0）． （1）求b、c的值； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）在所给坐标系中画出二次函数的图象． 【题型3：二次函数的