专题10 二次函数应用与综合（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（江苏专用）

专题10 二次函数应用与综合 1．能理解并掌握二次函数与二次方程、二次不等式的关系； 2．能在实际问题中列出二次函数关系式，并运用其性质解决简单的实际问题； 3．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。 考点1：二次函数与一元二次方程的关系 　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 注： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 考点2：利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 【题型1：二次函数与一元二次方程】 【典例1】（2020·江苏南通·统考中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式； （2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小； （3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围． 1．（2023·江苏淮安·校考三模）关于的方程的两根分别是，，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2023·江苏无锡·无锡市民办辅仁中学校考一模）已知抛物线过点，两点，若线段的长不大于4，则代数式的最小值是 ． 3．（2023·江苏镇江·统考二模）若函数的图象与轴只有一个交点，则 ． 4．（2023·江苏宿迁·统考三模）二次函数与轴交点坐标分别为，，则的值是 ． 【题型2：二次函数与不等式】 【典例2】（2017·江苏常州·中考真题）已知二次函数自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则在实数范围内能使得成立的x取值范围是 ． 1．（2023·江苏镇江·统考二模）已知一次函数和二次函数的自变量和对应函数值如表： x … 0 4 7 … … 0 1 5 8 … x … 0 4 … … 5 0 5 … 当时，自变量x的取值范围是 2．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，抛物线与直线相交于点和，抛物线还经过，    (1)求：抛物线和直线的解析式； (2)若，则x的取值范围是______． 3．（2023·江苏南京·校联考三模）已知二次函数的图像经过、、三点． (1)若点为该函数图像的顶点，求二次函数的表达式； (2)若该函数图像的对称轴为直线，求的值； (3)若二次函数解析式中二次项系数，当时，随的增大而减小．结合图像，直接写出的取值范围． 4．（2023·江苏南京·校联考三模）已知二次函数与交于点和点． (1)求，满足的关系式； (2)该函数图像的顶点坐标是______．（用含的代数式表示） (3)当时，结合图像，直接写出的取值范围． 【题型3：二次函数与实际问题】 【典例3】（2023·江苏宿迁·统考中考真题）某商场销售两种商品，每件进价均为20元．调查发现，如果售出种20件，种10件，销售总额为840元；如果售出种10件，种15件，销售总额为660元． (1)