微专题01 平面向量与三角形“四心”问题-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（江苏专用）

微专题01平面向量与三角形“四心”问题 研考题·聚焦关键词 题型一 三角形四心的判别 例1.(1)已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 (2)已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 变式:（2023·河南安阳·安阳一中校考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 题型二 三角形四心的应用 例2.(1)（2023·全国·高三专题练习）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ） A． B． C． D． (2)（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ） A． B． C． D． 变式:（2022秋·安徽黄山·高三第一次质量检测试题改编）在中,,O是的外心,则的最大值为_____________ 巩固能力·突破高分 1.（2024届湖南省高三九校联盟第一次联考）在中，点满足为重心，设，则可表示为（ ） A. B. C. D. 2.已知为的外心，若且，则（ ） A． B． C． D． 3.（2023·全国·高三校考）已知H为的垂心，，，M为边BC的中点，则（ ） A．20 B．10 C． D． 4.（2023春·广东佛山·高三佛山市第一中学4月统考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 5.（2023·全国·高三专题练习）圆为锐角的外接圆，，点在圆上，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6.（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校考）(多选)设点是的外心，且，下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若是正三角形，则 D．若，，，则四边形的面积是 7.（2023·全国·高三专题练习）已知中，，，，为的外心，若，则的值为____________. 8.（2023·全国·高三校考改编）的外心满足，，则的面积为____________. 9.（2023·全国·高三专题练习）如图，圆为的外接圆，，，为边的中点，则______. 10.（2023·湖北·高三校考）在中，，，，且，若为的内心，则 ． ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题01平面向量与三角形“四心”问题 研考题·聚焦关键词 题型一 三角形四心的判别 例1.(1)已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】设中点为，所以， 所以， 即，所以， 又由为中点可得点在的垂直平分线上，所以点是的外心， 故选：B (2)已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】C 【解析】因为为方向上的单位向量，为方向上的单位向量， 则的方向与的角平分线一致， 由，可得，即， 所以点P的轨迹为的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过的内心. 故选：C. 变式:（2023·河南安阳·安阳一中校考）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】C 【解析】设的中点是， ， 即，所以， 所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心， 故选：C.    题型二 三角形四心的应用 例2.(1)（2023·全国·高三专题练习）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，作出图形， 因为点析是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. 故选：D. . (2)（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据三点共线可得，结合图像分析运算． 【详解】如图：圆O在边上的切点分别为，连接，延长交于点 设，则，则 设 ∵三点共线，则，即 即 故选：D． 变式:（2022秋·安徽黄山·高三第一次质量检测试题改编）在中,,O是的外心,则的最大值为_____________ 【答案】3 【解析】:由题