福建省泉州市普通高中2023-2024学年高二上学期12月学科竞赛数学试题

2023年泉州市普通高中数学学科竞赛试卷 本试卷共20题，满分200分，共2页，考试用时150分钟. 一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分. 1 设集合，，则________. 2 已知，，则________． 3 已知数列满足，，则________. 4. 若，且，则________. 5. 记，则函数的最小值为________. 6. 设，为实数，且，虚数为方程的一个根，则的最大值为______. 7. 已知函数的图象关于直线对称，当时，，设，，，则，，的大小关系为________.（请用“<”连接） 8. 已知的内角，，的对边分别为，，，点满足，若，，则的最大值为________. 9. 过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为________． 10. 在直角中，，是内的动点，则的最小值为________. 11. 现有一个上部分轴截面为半椭圆玻璃杯（如图），其杯口内径为，深，现将一半径为的小球放入玻璃杯中，若小球可以接触杯底，则的取值范围为________. 12. 已知函数，当时，，则实数的取值范围为________. 13. 有2024个半径均为1的球密布在正四面体内（相邻两球外切，且边上的球与正四面体的面相切），则此正四面体的外接球半径为________. 14. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，则面积的最大值为________. 15. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则除以2023的余数是________. 二、解答题：本题共5小题，共110分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 将数列与的公共项从小到大依次排列得数列． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且. （1）若，求； （2）若，当最大时，求周长. 18. 如图，内接于，是的内心，过作的垂线交于点，交于点，是的中点，连接，过作于点.证明： （1）； （2）、、、四点共圆. 19. 已知直线，，动点满足，且到和的距离之积为. （1）求的轨迹的方程； （2）已知，过的动直线与交于不同两点，，若线段上有一点满足，求的最小值. 20. 已知多项式. （1）若，且有三个正实数根，，，证明：； （2）对一般的正整数，若，，，，证明：方程的根不全是正实数. 2023年泉州市普通高中数学学科竞赛试卷 本试卷共20题，满分200分，共2页，考试用时150分钟. 一、填空题：本题共15小题，每小题6分，共90分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】2 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】##0.96 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】## 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】1011 二、解答题：本题共5小题，共110分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$