题型01 不等式相关解题技巧（基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式）-备战2024年高考数学答题技巧与模板构建（新高考通用）

题型01 不等式相关解题技巧 （基本不等式链、权方和不等式、两类糖水不等式） 技法01 基本不等式链的应用及解题技巧 技法02 权方和不等式的应用及解题技巧 技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 技法04 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 技法01 基本不等式链的应用及解题技巧 本题型通常考查基本不等式及其基本不等式链的应用，掌握基本不等式链，可以较快速解决代数式的大小比较及其相关最值求解，常以小题形式考查. 知识迁移 基本不等式链: , 当且仅当 时, 等号成立. 其中 分别为 平方平均数, 算术平均数, 几何平均数, 调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化. 例1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 由基本不等式链: , 可得（R）， 对于AB 由可变形为，， 解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 对于C 【法一】由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确 【法二】由 ,得 , 又因为 ,所以 ,即 . 【法三】 , 又因为 ,所以 . 【答案】：BC． 1．（2023·湖北·模拟预测）（多选）若，，，则下列不等式中对一切满足条件的，恒成立的有（    ） A． B． C． D． 2．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）若，则下列不等式对一切满足条件恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏模拟）（多选）已知实数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 技法02 权方和不等式的应用及解题技巧 在条件等式求最值或“1”的妙用求最值中，我们通常使用基本不等式（链）来求最值，解题中往往会遇到思路繁琐，计算量大的情况，学生不易求解，而此时的权方和不等式优势极其明显，可以做到快速求解，常在小题中使用. 知识迁移 权方和不等式的初级应用: 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 例2．（2023·浙江模拟）已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B． C．9 D． 因为，所以 由权方和不等式 可得 当且仅当，即时，等号成立． 【答案】C 1．（2023·四川·校联考一模）已知正数x，y满足，则的最小值是 . 2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）设且，则的最小值是 ． 3．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知正数x，y满足，若恒成立，则实数a的取值范围是 ． 技法03 普通型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 知识迁移 1. 糖水不等式定理: 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 例3-1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有: 【法二】，故B正确； 因为，所以有，故A错误； ，故C正确； ，故D正确． 【答案】BCD 例3-2．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ） A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b 【法一】 , 又 ， 用排除法, 选 A . 【法二】 ， 若, 但 , 综上所述，. 【法三】 由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 【答案】A 1．（2022·江苏阶段练习）生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2. 若等比数列前 项和为 , 比较 与 的大小. 3. 证明: 中, 技法04 对数型糖水不等式的应用及解题技巧 在应用不等式的性质进行代数式大小比较时，我们除了常规的不等式性质，特值，还可以学习对数型糖水不等式及其倒数形式，常在小题中使用，能做到快速求解. 知识迁移 (1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 例4．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D．