7.1 角与弧度（8大题型）-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（苏教版2019必修第一册）

7.1 角与弧度 一、任意角的定义 1、定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角叫做零角 二、象限角与其集合表示 1、终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和. 2、象限角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。 3、象限角的集合表示 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 三、轴线角及其集合表示 1、轴线角的定义：在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，可称为轴线角。 2、轴线角的集合表示 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 四、弧度制 1、角度制：规定周角的为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2、弧度制的定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3、弧度制与角度制的区别与联系 区别 （1）单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位； （2）定义不同. 联系 不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值. 五、角度制与弧度制之间的互化 1、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 2、一些特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度 0 六、弧长与扇形面积公式 设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 题型一 任意角的概念辨析 【例1】（2023·高一课时练习）（多选）下列选项不正确的是（ ） A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于的角一定为锐角 【变式1-1】（2023·四川遂宁·高一遂宁中学校考阶段练习）（多选）下列说法错误的是（ ） A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于的角是钝角 D．是第二象限角 【变式1-2】（2023·北京·高一北理工附中校考阶段练习）钟表的分针在一个半小时内转了（ ） A．180° B． C．542° D． 【变式1-3】（2023·广西钦州·高一校考阶段练习）已知集合第一象限的角,锐角，小于的角，下列四个命题： ①；②；③；④ 其中正确命题的个数为（ ） A． B． C． D． 题型二 终边相同的角的表示 【例2】（2023·广西河池·高一校联考阶段练习）与角终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·安徽·高二校联考期中）在平面直角坐标系中，下列与角 终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（（2023·高一课时练习）与角终边相同的角可表示为（ ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2023·全国·高一课时练习）如果角与具有相同的终边，角与具有相同的终边，那么角与角之间满足的等量关系是 . 题型三 根据图形写出角的范围 【例3】（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） A． B． C． D．