精品解析：2024届上海市普陀区高考一模数学试题

2024届普陀区高三一模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1. 若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数______. 2. 设虚数单位，若复数满足.则______. 3. 若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为______. 4. 设是等差数列的前项和，若，则______. 5. 设，若.则______. 6. 若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围为______. 7. 设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______. 8. 设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为______. 9. 若数列满足，（，），则的最小值是______. 10. 设函数（）的图象与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______. 11. 设函数，若对任意，皆有成立，则实数取值范围是______. 12. 体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______. 二、选择题（本大题共有4小题，满分18分） 13. 若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的方程是 B. 过椭圆上点作圆的切线，一定有两条 C. 圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是 D. 直线与椭圆有交点，与圆无交点 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ） A 1 B. C. 2 D. 15. 已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（ ） A. 平均数 B. 方差 C. 众数 D. 中位数 16. 已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图. （1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数； （2）经统计年龄在的被调查者中，投赞成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示） 18. 图1所示是等腰梯形，，，，于点，现将沿直线折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示. （1）若，求证：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小. 19. 设函数的表达式为. （1）求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件； （2）若，且，求实数的取值范围. 20. 设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 21. 若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”. （1）判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由； （2）若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式； （3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届普陀区高三一模数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分） 1. 若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正实数______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据顶点到它的准线距离为即可得到方程，解出即可. 【详解】，因为正实数，则，则， 故答案为：2. 2. 设为虚数单位，若复数满足.则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法求出，再由复数模的意义计算得解. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 3. 若圆上的一段圆弧长与该圆的内接正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为______. 【答案】1弧度 【解析】 【分析】根据弧度的定义求解即可． 【详解】圆的内接正六边形的边长等于圆半径，弧长等于半径的弧所对圆心角为1弧度角． 故答案为：1弧度． 4. 设是等差数列的前项和，若，则______. 【答案】21 【解析】 【分析】由等差数列性质，得，结合等差数列前项和公式即可得. 【详解】由是等差数列，