第二部分 整体思想与求值问题&独辟蹊径巧解方程-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 整体思想与求值问题 整体思想是一种重要的数学思想,它贯穿初中数学的始终,特别是在求解某些代数式的值时,如果能从 全局着眼,整体思考,那么会使问题化繁为简,化难为易,现就整体思想在中考代数式求值中的运用,以部分 试题为例说明如下,供同学们复习时参考. 例1 当s=t+ 1 2 时,代数式s2-2st+t2 的值为 . 分析:题中有两个未知数,不能得出它们的结果,所以直接代入求值行不通,但考虑已知条件可以变形得到 s-t,而代数式s2-2st+t2 是一个完全平方式,即为(s-t)2,于是整体代入可以求解. 解:因为s=t+ 1 2 ,所以s-t= 1 2 ,当s-t= 1 2 时,s2-2st+t2=(s-t)2= 12 2 = 1 4. 变式练习1 已知x(x-1)-(x2-y)=-3,求x2+y2-2xy 的值. 例2 若 x+ 1 x 2 =9,则 x- 1 x 2 的值为 . 分析:要求 x- 1 x 2 的值,考虑完全平方公式的变形(a-b)2=(a+b)2-4ab,于是可模仿求解. 解:因为 x- 1 x 2 = x+ 1 x 2 -4,而 x+ 1 x 2 =9,所以原式=9-4=5. 变式练习2 已知a= 5+2,b= 5-2,则 a2+b2+7的值为 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 变式练习参考答案: 1. 9 2. C 25 第 二 部 分 专 题 选 讲 独辟蹊径 巧解方程 同学们初学解一元一次方程时,通常会严格按照解一元一次方程的基本程序解答.但有时也要根据方 程本身的结构特点,灵活运用,下面介绍几种常用的方法. 一、 巧去括号 去括号是解一元一次方程中重要的步骤之一,但当我们面对括号众多且有规律可循的一元一次方程 时,我们就要善于分析,巧去括号. 例1 解方程: 1 9 1 7 1 5 x+2 3 +4 +6􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 +8 =1. 分析:若按照一般去括号的顺序从里到外,显然比较麻烦,若在方程两边连续乘9,7,5,3四个数,从外向里去 括号,则可使去括号与去分母的过程同步完成. 解:方程两边都乘9,整理得 1 7 1 5 x+2 3 +4 +6􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =1. 方程两边都乘7,整理得 1 5 x+2 3 +4 =1. 方程两边都乘5,整理得 x+2 3 =1. 方程两边都乘3,得x+2=3. 解得x=1. 二、 运用整体思想 整体思想是我们在初中接触到的一种重要的数学思想,在解一元一次方程的过程中,正确合理地运用 整体思想,常常会使我们的解题更方便快捷. 例2 解方程: 1 6 (20x+50)+ 2 3 (5+2x)- 1 2 (4x+10)=0. 分析:通过观察,我们注意到方程各项中都含有因式(2x+5),所以可以运用整体思想方法,巧解此题. 解:原方程可化为5 3 (2x+5)+ 2 3 (2x+5)-(2x+5)=0. 合并同类项,得 5 3+ 2 3-1 (2x+5)=0. 解得x=- 5 2. 三、 运用转化思想 有些一元一次方程乍看起来非常繁琐,但如果我们仔细观察,巧妙运用转化思想,将“复杂”的问题转化 为简单的问题,就会大大提高我们解题的效率和准确率. 例3 解方程: 4x-1.5 0.5 - 5x-0.8 0.2 = 1.2-x 0.1 . 分析:通过观察我们发现,该一元一次方程的分母中含有小数,故只要将分母中的小数转化为整数形式,解 题将会变得十分简便. 解:运用分数的性质,将各分母转化为整数得2 (4x-1.5) 0.5×2 - 5(5x-0.8) 0.2×5 = 10(1.2-x) 0.1×10 . 整理得8x-3-25x+4=12-10x. 移项,合并同类项得7x=-11. 解得x=- 11 7. 35