第二部分 有理数与数轴共舞&有理数巧运算大荟萃-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 第二部分 专题选讲 有理数与数轴共舞 通过数轴来研究有理数,利用有理数来进一步认识数轴,这样有助于对数学概念等基础知识的理解,加 深对数量关系的认识,下面举例加以说明: 一、 利用数轴表示有理数 所有的有理数都可以用数轴上的点表示:正有理数用原点右边的点表示,负有理数用原点左边的点表 示,0用原点表示. 例1 如图所示,数轴上A,B,C,D,E 各点分别表示什么数? 分析:根据各点距离原点多少个长度单位,在原点的左边为负数,在原点的右边为正数,在原点处的为0,以 此来确定它们所表示的数. 解:点A 表示的数为3.5(位于原点右边3.5个单位长度处); 点B 表示的数为0.5(位于原点右边0.5个单位长度处); 点C 表示的数为0(位于原点处); 点D 表示的数为-3(位于原点左边3个单位长度处); 点E 表示的数为-4.5(位于原点左边4.5个单位长度处). 说明:虽然任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示,但却不能说数轴上的每个点都表示有理数. 因为数轴上的点除了表示有理数之外,还有很多点表示的数是我们今后将要学习到的无理数. 二、 利用数轴比较有理数的大小 通过观察,我们不难发现:在数轴上的两个点中,右边的点表示的数大于左边的点表示的数.由此,我们 可以进一步得出:正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.我们可以借助数轴这一工具来比较任意几个 有理数的大小. 例2 比较下列几个数的大小,并用“<”将它们按从小到大的顺序连接起来: -2,4,0,1 2 3 ,- 1 2 ,2.5,-3. 分析:首先在数轴上画出表示上述各数的点,再运用数轴上“右边的点表示的数大于左边的点表示的数”这 一结论,根据数轴上表示这些数的点的位置,将它们按从左到右的顺序排列起来,并用“<”连接即可. 解:如图,在数轴上分别画出表示题中各数的点. 所以有:-3<-2<- 1 2<0<1 2 3<2.5<4. 说明:在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的大.根据这一规律,可把要比较的所有有理数一一 在数轴上表示出来,再判定其大小关系. 74 第 二 部 分 专 题 选 讲 有理数巧运算大荟萃 一、 “归”:将同类数(如正数或负数)归类计算 例1 计算:(-13)+(+28)+(-47)+(+50). 分析:本题运用加法交换律和结合律,将正数和负数分别求和. 解:原式=(28+50)+(-13-47) =78+(-60) =18. 二、 “消”:将相加得0的数(如互为相反数)对消 例2 计算:- 7 10 +2.3+(-0.1)-2.2+710+3.5. 分析:本题运用加法交换律和结合律,将互为相反数的两个数对消. 解:原式= - 7 10 +710􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 +(2.3+3.5-0.1-2.2) =0+(2.3-0.1-2.2+3.5) =0+3.5 =3.5. 三、 “凑”:将相加可得整数的数凑整 例3 计算:+ 4 5 + -13 +1.75+ -23 +1.05+2.2. 分析:本题运用加法交换律和结合律,将可得整数的数凑整. 解:原式= - 1 3- 2 3 +(1.75+1.05+2.2)+ +45 =-1+5+ 4 5 =4 4 5. 四、 “合”:将不同类型的数(如分母相同或易于通分的数)分别组合 例4 计算:1- 5 12+ 1 5+ 1 12-1 19 20- 13 15. 分析:运用加法交换律和结合律,将不同类的数(如分母相同或易于通分的数)分别组合. 解:原式= 1-1 19 20 + 112-512 + 15-1315 =- 19 20- 1 3- 2 3 =-1 19 20. 五、 “分”:将一个数分解成几个数之和的形式,或分解为它的因数相乘的形式 例5 计算:19 16 17×15. 分析:本题运用凑整法将一个数分解成几个数之和的形式,然后运用乘法分配律解决. 解:原式= 20- 1 17 ×15 =300- 15 17 84 第 二 部 分 专 题 选 讲 =299 2 17. 六、 “化”:将小数与分数或乘法与除法相互转化 例6 计算:-3- -5+ 1-0.2× 3 5 ÷(-2)􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 . 解:原式=-3- -5+ 1- 1 5× 3 5 ÷(-2)􀭠􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 =-3- -5+ 22 25× - 1 2 􀭠􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 =-3- -5- 11 25 =21125. 七、 “化”:利用运算律,改变运算