第二部分 列方程来解题——互余、互补题型例析&钟表中指针所形成的角-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 列方程 来解题 ———互余、互补题型例析 学习了互为余角、互为补角两个概念后,经常遇到有关求此类角的度数问题,若运用方程思想去求解, 往往能使问题简捷明了.现举例说明. 例1 一个角的补角是这个角的3倍,求这个角的度数. 分析:要求这个角的大小,只知道这个角与其补角的关系,可设这个角为x°,列方程来求解. 解:设这个角的度数为x°,则它的补角的度数为(180-x)°. 则根据题意,得180°-x°=3x°. 解得:x°=45°. 故这个角的度数是45°. 例2 如果一个角的余角是50°,求这个角的补角. 分析:若设这个角的度数为x°,则这个角的余角是(90-x)°,于是由这个角的补角是50°可列出方程求解. 解:设这个角为x°,则这个角的余角是(90-x)°,则根据题意,得 90°-x°=50°,解得:x°=40°, 所以180°-x°=180°-40°=140°. 故这个角的补角是140°. 例3 如果一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角. 分析:题目的条件中既包含了补角,又包含了余角,这样就可以综合运用例1和例2的表示方法求解. 解:设这个角为x°,则这个角的补角的度数为(180-x)°,它的余角的度数为(90-x)°. 则根据题意,得(180-x)°=4(90-x)°. 解得x=60°. 故这个角的度数是60°. 65 第 二 部 分 专 题 选 讲 钟表中指针所形成的角 同学们对钟表一定非常熟悉,不知你注意到没有,这小小的钟面上也蕴含着丰富的数学知识.下面和大 家共同探究其中的问题,总结它们在运动中的规律. 一、 时针、分针运动之间的关系 时针 1小时转1大格 1小时转30° 1分钟转0.5° 分针 1小时转12大格 1小时转360° 1分钟转6° 二、 时针、分针转过的角度 例1 (1)由2点30分到2点55分,求时针、分针转过的角度; (2)下午2点15分到5点30分,时针转过的角度. 解:(1)由2点30分到2点55分经过了25分钟,所以分钟转过(55-30)×6°=150°;时针转过(55-30)× 0.5°=12.5°; (2)从2点15分到5点30分,走过的时间为3小时15分,即3 1 4 小时,即3 1 4×30°=97.5°. 三、 某一时刻,时针、分针所形成的夹角 1. 整n 点时,分针与时针的夹角:因为整点时,分针始终指向12,所以可把分针看作角的始边,时针看 作角的终边,因此,当n=1,2,…,6时,分针与时针的夹角为(n·30°).当n=7,8,…,12时,分针与时针的 夹角为(360°-n·30°). 2. 任意时刻两针的夹角:以12为基准,时针转过角度(在所有时间内)与分针转过角度(在一个小时内) 之差的绝对值即为所求夹角.其计算公式为: m 点n 分时两针夹角:(30m)°+ 12n °-(6n)° =|m×30°-n×5.5°|. 注:如果上式得到的角大于180°,则两针构成的角为360°减去上式得到的角. 例2 钟表上2时15分时,时针与分针所形成的锐角的度数是多少? 解:方法一:以钟表上12为基准, 时针走了9 4 小时,转过的角度为30°× 9 4=67.5° ,分针走了15分钟,转过 的角度为6°×15=90°,所以2点15分,时钟的时针与分针成的角是|90°-67.5°|=22.5°; 方法二:|2×30°-15×5.5°|=22.5°. 四、 时针与分针位置关系的判断 例3 时钟里,时针从5点整的位置开始,顺时针方向转多少度时,时针与分针第一次重合? 解:开始时,分针落后于时针150°,设分针与时针第一次重合时,时针转动了x°,分针转动了(150+x)°,而分 针转动的速度是时针的12倍,于是:150+x=12x,解得x= 150 11. 钟表是形成角的典型例子,其中涉及角的奥秘很多,如时针与分针在12小时内,有多少次成直角,有多 少次重合等,请你去思考探索. 75