第二部分 多方法解“追击”&比较实数大小有高招-【期末·寒假大串联】2023-2024学年七年级数学（浙教版）

第 二 部 分 专 题 选 讲 多方法解“追击” 在运用一元一次方程解决实际问题的过程中,我们可以多角度思考问题,通过巧妙合理地设元,寻找等 量关系,构建不同的方程来解答.下面列举一例,供同学们鉴赏学习. 例 甲、乙二人从相距30米的两地同向而行,甲的速度为7米/秒,乙的速度为6.5米/秒,如果甲先出发1 秒钟后,乙才出发,问甲出发多长时间后可以追上乙? 解法一:设甲出发x 秒后可以追上乙,则甲走的路程为7x 米,乙比甲晚1秒钟出发,则乙少走1秒钟, 所以乙走的路程为6.5(x-1)米,甲追上乙表示甲比乙多走了30 米. 根据题意,得 7x=6.5(x-1)+30. 解这个方程,得x=47. 答:甲出发47秒后追上乙. 解法二:设甲出发x 秒后可以追上乙,甲先走1秒钟,则甲先走了7米,这样甲追上乙只需多走30- 7×1=23(米).这时甲、乙二人都走了(x-1)秒,甲走的路程为7(x-1)米,乙走的路程为6.5(x-1)米. 根据题意,得7(x-1)=6.5(x-1)+(30-7×1). 解这个方程,得x=47. 答:甲出发47秒后追上乙. 解法三:设乙出发x 秒后甲追上乙,因为甲先走1秒,所以甲走了(x+1)秒,乙走了x 秒,甲走的路程比 乙走的路程多30米. 根据题意,得7(x+1)-6.5x=30. 解这个方程,得x=46. ∴ x+1=47. 答:甲出发47秒后追上乙. 小结:在解决行程追击问题时,首先要正确理解题意,然后再设出恰当的未知数(可以直接设未知数,如 解法一和解法二,也可间接设未知数,如解法三),由基本关系式“路程=速度×时间”,把实际问题转化为数 学问题,最后再根据行程追击问题的数学模型:“追击者所走的路程=两人原来相距的路程+被追击者所走 路程”,列出方程,从而解决问题. 45 第 二 部 分 专 题 选 讲 比较实数大小有高招 比较实数的大小,技巧性较强,尤其是一些无理数之间的比较更是方法众多,下面给出几种常用的比较 方法,供同学们参考,希望同学们能根据题目的特点恰当地选择方法. 一、 取近似值法 例1 比较2.7与 3+1的大小. 分析:因为 3≈1.732,3+1≈2.732,又因为2.732>2.7,所以 3+1>2.7. 评注 取近似值法适用于含有常见无理数,如 2,π等的数的大小比较. 二、 估算法 例2 比较- 5与- 3 7大小. 分析:因为4<5<9,1<7<8,所以2< 5<3,1< 3 7<2,所以 5> 3 7,从而- 5<- 3 7. 评注 估算法的基本思路是先估算出其中若干个数的取值范围,再进行比较. 三、 平方法 例3 比较 6+1与 3+2大小. 分析:令a= 6+1,b= 3+2,则a2=(6+1)2=6+26+1=7+26,b2=(3+2)2=3+43+4=7+ 43=7+2×23. 通过估算,有 6<23,所以a2<b2,所以a<b,所以 6+1< 3+2. 评注 平方法的基本思路是先将要比较的两个数分别平方,再根据当a>0,b>0时,由a2>b2,得a>b;当 a<0,b<0时,a2>b2,得a<b. 四、 作差法 例4 比较 2-1 2 与0.5的大小. 分析:2-1 2 -0.5= 2-1 2 - 1 2= 2-2 2 . 因为 2-2<0,所以 2-1 2 -0.5<0 ,所以 2-1 2 <0.5. 评注 作差法的基本思路是对任意两个实数a,b,先求出a 与b的差,再根据当a-b>0时,a>b;当a-b <0时,a<b;当a-b=0,a=b来比较大小. 55