压轴真题必刷01 实数和勾股定理（压轴30题5种题型训练）-2023-2024学年八年级数学上学期期末考点大串讲（北师大版）

压轴真题必刷01：实数和勾股定理 【题型归纳】 题型一：实数新定义问题 1．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期末）对于两个实数x，y，我们定义：，有下列说法： ①； ②； ③若，则． 其中说法正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）对于各个数位均不为0的三位数，将的各个数位中任取两个数位构成一个两位数，这样就可以得到六个两位数，这六个两位数叫做的“强化数”，例如：，则的强化数字是25、52、23、32、53、35，的所有“强化数”之和与11的商记为，若， ；若和是两个三位数，它们都有“强化数”，，（，、、均为整数），若的值能被5整除，记，则的最小值为 ． 3．（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如果一个四位整数P能分解成两个两位数的乘积，且这两个两位数各数位上的数字之和相等，把这样的整数P称为“可爱数”，把这样的分解称为“可爱分解”，即，，（且a，b，c，d均为整数）．若恰好为完全平方数，且A是5的倍数，则满足条件的最大“可爱数”为 ． 4．（2023下·重庆铜梁·八年级重庆市巴川中学校校考期末）对于四位数正整数，若满足，则把M叫做“友好数”．将“友好数”M的个位字去掉得到的三位数记为s，将千位数字去掉得到的三位数记为t，并规定．则 ；若四位正整数（，，，x，y，m，n为整数）是“友好数”，且除以5余1，则满足条件的N的最大值为 ． 5．（2022上·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考期中）如果无理数m的值介于两个连续正整数之间，即满足（其中a、b为连续正整数），我们则称无理数m的“神奇区间”为．例： ，所以的“神奇区间”为．若某一无理数的“神奇区间”为，且满足，其中， 是关于x、y的二元一次方程组的一组正整数解，则 ． 6．（2022上·湖南永州·八年级统考期末）某校数学课外小组利用数轴为学校门口的一条马路设计植树方案如下：第k棵树种植在点处，其中，当时．表示非负实数a的整数部分，例如．按此方案，第2021棵树种植在点处，则 ． 题型二：二次根式的化简求值问题 7．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 8．（2022下·重庆开州·八年级统考期末）二次根式除法可以这样做：如．像这样通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论： ①将式子进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以； ②若a是的小数部分，则的值为； ③比较两个二次根式的大小：； ④计算； ⑤若，，且，则整数． 以上结论正确的是（    ） A．①③④ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③⑤ 9．（2020上·河南洛阳·九年级校考阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 10．（2023上·湖南常德·八年级统考期末）观察下列分母有理 ，…… 从计算结果中找出规律 ． 11．（2021下·广西南宁·八年级南宁二中校联考期末）已知：；；；……按此规律，请表示出第2021个式子 ． 12．（2023下·北京大兴·八年级统考期末）【阅读材料】小华根据学习“二次根式“及”乘法公式“积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究”当时，与的大小关系”． 下面是小单的深究过程： ①具体运算，发现规律： 当时， 特例1：若，则； 特例2：若，则； 特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当时，． ③证明猜想： 当时， ∵，∴，∴． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 　 　(2)当时，的最小值为 　 　；(3)当时，求的最大值． 题型三：勾股定理在几何在的应用 13．（2023下·河南南阳·八年级统考期末）如图，在中，．顶点的坐标为，以为边向的外侧作正方形．将组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第98次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 14．（2023下·辽宁朝阳·八年级统考期末）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 15．（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）如图，在中，，点P、Q分别是边上的动点，则的最小值等于（    ）      A．4 B． C．5 D． 16．（2023上·吉林长春·八年级统考期末）如图，中，，，．点P从点C出发，沿折线运动，速度为2个单位长度秒．点D为的中点，连接、．点P运动时间为t秒．    (1)的长度为______． (2)