第2章 实数（知识清单+典型例题）-【满分全攻略】2023-2024学年八年级数学上册同步讲义全优学案（北师大版）

第2章 实数（知识清单+典型例题） 【知识导图】 【知识清单】 一、实数的相关概念 1.实数的分类 注:0既不是正数，也不是负数，但是整数 2.数轴 ①三要素:原点、单位长度、正方向 ②与实数一一对应 3.相反数、倒数 a与-a相反数的两数和为0（a与b互为相反数得a+b=0） b与倒数的两数积为1（a与b互为倒数得ab=1） 4.绝对值（到原点的距离） 5.实数的大小比较 ①利用数轴（右边的数总比左边大） ②作差与0比 ③作商与1比 【例1】在，，，，，，这些数中，无理数的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】有下列说法：①任何无理数都是无限小数；②有理数与数轴上的点一一对应；③绝对值等于本身的数是0，1；④是分数；⑤近似数所表示的准确数的范围是：．其中正确的个数是 个． 【变式2】比较大小 ． 二、平方根与立方根 正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根 0的算术平方根是0 ，即 算术平方根的意义：算术平方根具有双重非负性 1.平方根的定义： 若，则x叫a的平方根,即 2.立方根的定义 若，则x叫a的立方根,即 【例2】已知的平方根是，4是的平方根，求的值． 【变式1】（1）已知，求的值； （2）已知实数的一个平方根是的立方根是，求的算术平方根． 【变式2】已知和是某正数的两个平方根，的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 三、二次根式 1、定义：形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数. 2、性质： ⑴积的算术平方根：等于算术平方根的积； ⑵商的算术平方根：等于算术平方根的商； 3、最简二次根式 ： 满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式 ： ⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式； ⑵被开方数不能含有分母； ⑶分母不能含有根号. 二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式. 4、二次根式的运算 ： ⑴二次根式的加减：类似合并同类项； ⑵二次根式的乘法 ： ⑶二次根式的除法 ： (4) 二次根式的乘方 ： 【例3】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】．计算：． 【变式2】判断下列二次根式是不是最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 核心素养提升 1. 数学运算-二次根式的运算 1．计算： (1)． (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3.已知，，，． (1)求的值． (2)若，，求的值． 2. 数形结合思想 4．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝3厘米，DA＝DC＝4厘米，∠DAB＝∠DCB＝90°，点P从A点开始沿射线AB方向运动，点Q从点C开始沿射线BC方向运动，P、Q两点运动速度均为1厘米/秒，两点同时运动． （1）在P、Q两点运动过程中，请问∠PDQ的大小是否发生变化？请说明理由； （2）当点P在线段AB上运动时（如图1），请求出四边形PDQB的而积； （3）如图2，P点运动到AB延长线上，设DP与线段BC的交点为E． ①当P、Q运动了多少秒时，S△CDE=S△BPE． ②当P、Q运动了多少秒时，第①小问中两个三角形的面积差为（3﹣）平方厘米． 5．已知小正方形的边长为1，在4×4的正方形网中． （1）求_______________． （2）在5×5的正方形网中作一个边长为的正方形． 6．“说不完的”探究活动，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (1)到底有多大？ 下面是小欣探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且．设，画出如下示意图． 由面积公式，可得______． 因为值很小，所以更小，略去，得方程______，解得____（保留到0.001），即_____． (2)怎样画出？请一起参与小敏探索画过程． 现有2个边长为1的正方形，排列形式如图（1），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（图中每个小正方形的边长均为1）中用实线画出拼接成的新正方形． 小敏同学的做法是：设新正方形的边长为．依题意，割补前后图形的面积相等，有，解得．把图（1）如图所示进行分割，请在图（2）中用实线画出拼接成的新正方形． 请参考小敏做法，现有5个边长为1的正方形，排列形式如图（3），请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图（4）中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程． 中考热点聚焦 热点1.无理数的识别与估算 1．估计12的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．先化简，再求值（x＋1）2－