专题08 等差数列十一个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019）

专题08等差数列十一个重难点归类 一、等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 二、等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 三、等差数列的性质 1．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 【重难点一 利用等差数列的定义求通项公式】 例1．已知数列满足，，则当时，n的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 例2．在数列中，，，则 . 对于数列，若⇔是等差数列 【跟踪练习】 练习1．已知数列满足，（，），则 ． 练习2．已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为 . 练习3．在数列中，，且.则数列的通项公式为 . 练习4．已知数列满足，，则 ． 【重难点二 通项公式与求和公式基本量的计算】 例3．已知数列是等差数列，是其前项和.若，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 例4．已知等差数列中，为的前n项和，，则（    ） A．4 B． C．3 D． （1）可由与构造关于的方程组即可求解 （2）利用等差数列的性质可简化计算 【跟踪练习】 练习1．已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 练习2．已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习3．记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 练习4．已知是等差数列的前n项和，且，． (1)求的通项公式； (2)若，求n． 【重难点三 由求等差数列的通项公式】 例5．已知数列的前项和为，且，则 . 例6．已知数列的前项和为，若，点在直线上.则数列的通项公式是 . 利用：形如或或 【跟踪练习】 练习1．若数列的前n项和，则数列的通项公式 . 练习2．设数列的前项和为，求证：数列为等差数列. 练习3．设为数列的前n项和，.求及. 练习4．记各项均为正数的数列的前n项和是，已知，n为正整数，求的通项公式； 【重难点四 等差中项及其应用】 例7．一个等差数列由三个数组成，三个数的和为9，三个数的平方和为35，求这三个数． 例8．记等差数列的公差为，若是与的等差中项，则d的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 （1）由等差数列的定义知,即,从而由等差中项的定义可知,等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. （2）三个数或四个数成等差数列的设法: 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时,方法一:可设出首项和公差,列方程组求解. 方法二:采用对称的设法,三个数时,设为;四个数时,可设为. 【跟踪练习】 练习1．若，，成等差数列，则 的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 练习2．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（    ） A． B． C． D．3 练习3．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 练习4．设为等差数列的前n项和，已知与的等差中项是1，且，求通项. 【重难点五 等差数列与数学文化】 例9．（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法错误的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 例10．在