三角函数及解三角形讲义-2024届高三数学二轮专题复习

模块二 高考数学思维训练教程 —三角函数及三角形 第一课时 三角恒等变换问题的思维训练方法 一.三角函数需要掌握的主要知识 1.同角三角函数的等式 对于任何一个角，都含有3个未知数，可以通过上面等式减少未知数的个数。 2.诱导公式 诱导公式是不同角的三角函数的等式，需要学会。 3.三角函数的图像及主要性质 ①正弦函数 单调增区间：,注意：这是很多区间； 单调减区间：,注意：这是很多区间； 对称轴：, 注意：正弦函数的对称轴有很多条； 对称点：, 注意：正弦函数的对称点有很多个。 ②余弦函数 单调增区间：,注意：这是很多区间； 单调减区间：,注意：这是很多区间； 对称轴：, 注意：余弦函数的对称轴有很多条； 对称点：, 注意：余弦函数的对称点有很多个。 ③正切函数 单调增区间：,注意：这是很多区间； 对称点：, 注意：正切函数的对称点有很多个。 4.和角公式、倍角公式 降幂公式：， ①和角公式、倍角公式是什么？ 是不同角的三角函数的等式，左边可以化为右边，特别注意，右边可以化为左边。 ②和角公式、倍角公式的利用方法 主要作用是用来减少角的个数。通过左边化为右边，减少等角；通过右边化为左边，减少等角。 5.一个常用等式：辅助角公式 ,其中：,一般假定a,b为正数。 6.学习方法：三角函数的主要内容是包含很多等式，学会这些等式的互化方法。 二.三角函数问题的主要类型，学会解决这些问题的思维方法是学习的关键 第一类：三角恒等变换问题 第二类：三角函数周期、最大最小值问题 学会解决三角恒等变换问题的常用思维方法： ①仅与一个角有关的问题 这类问题主要是含有两个未知数sinx,cosx的问题（正切一般要化为正弦和余弦），一般需要找到两个等式，一定要找到隐含等式，利用解方程的方法解决。 ②与多个角有关的问题 这类问题主要是含有多个角，每个角含有两个未知数sinx,cosx，因此，其思维方法是：一般需要减少角的个数，尽量保留一到两个角，以便减少未知数的个数，因此，如何减少角的个数，保留哪个角是这类问题思维教学的关键。 减少角的个数的方法：利用和角公式、倍角公式（都是等式），可以把角（）、变为角，减少角（）、；也可以“逆用等式”，把角变为角（），减少角； ③换元是三角函数中一种最常见的“降低思维难度的方法”，学会如何换元。 例1（2021年新高考全国1卷）若tanθ=-2,则 思维学习方法： ①问题：求的值 方法：本题含有两个未知数，常规思维方法是： 第一，需要减少未知数的个数 利用减少 第二，两个未知数需要找到两个等式 一定要找到隐含等式： ②计算 第一，减少角的个数： 第二，减少“未知数”的个数： 第三，求 求得： ③本题需要学会 第一，都应该看成未知数，减少未知数的个数，是解决三角函数问题的主要思维方法。 第二，一般都需要使用等式，求出需要的未知数。 例2 已知，且，则= ____. 思维学习方法： ①问题：求的值 第一，思考一：本题含有几个角？哪一个是已知角？ 本题含有3个角：，其中是已知角。 第二，已知角很“复杂”，一般要换元，变为新的已知角，注意其它角也要用表示。 设，， ②计算 第一，减少角的个数： 第二，求 有条件：，，得出： 利用等式： 求得：， ③本题需要学会 第一，本题是含有3个角的问题，而不是“一个角”，主要思路是减少角的个数。 第二，本题“已知角”很复杂，一般要换元，特别注意，换元后要把换元后的角看作已知角，其它角要化为换元后的角。 例3 已知，,求的值 思维学习方法： ①问题：求的值 第一，思考一：本题含有几个角？哪一个是已知角？ 本题含有4个角：，其中是已知角。 第二，已知角很“复杂”，一般要换元，x,y变为新的已知角，注意其它角也要用x,y表示。 设， ②计算 第一，减少角的个数，把未知角变为“已知角” 第二，减少未知数的个数（4个未知数变为2个，保留sinx,siny） 条件一：， 得到： 例4计算=________ 思维学习方法： ①问题：求的值 思考一：本题含有几个角？ 本题看似仅有1个角，通过变形，会出现多个角。 ②计算 第一，必须变为,需要化简为 第二，中含有，利用“辅助角公式”变为“一个角的三角函数”,首先提取 ③本题需要学会 第一，本题是“分式”，把所有项变为“乘积”，以便约分。 第二，类似的式子，利用“辅助角公式”变为“一个角的三角函数”,首先提取 例5 已知，．设，若，求的值． 思维学习方法： ①问题：求的值,找到的等式 第一，条件一： 得到等式： 第二，2个角减少为1个角 思考一：如何减少角？ 上面等式化为： 利用等式：，得到等式： 求得： 有条件：， 例6 已