专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题2-5 最值模型之阿氏圆与胡不归 知识点梳理 模块一 胡不归模型 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算 模块二 阿氏圆模型 【题型4】点在圆外：向内取点（系数小于1） 【题型5】点在圆内：向外取点（系数大于1） 【题型6】一内一外提系数 【题型7】隐圆型阿氏圆 知识点梳理 一、胡不归模型讲解 如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小． ，记，即求BC＋kAC的最小值． 构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CH/AC＝k，CH＝kAC． 将问题转化为求BC＋CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC＋CH取到最小值，即BC＋kAC最小． 二、阿氏圆模型讲解 【模型来源】 所谓阿圆，就是动点到两定点距离之比为定值，那么动点的轨迹就是圆，这个圆，称为阿波罗尼斯圆，简称为阿圆．其本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似． 【模型建立】 如图 1 所示，⊙O 的半径为R，点 A、B 都在⊙O 外 ，P为⊙O上一动点，已知R＝OB， 连接 PA、PB，则当“PA＋PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC使 OC＝R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB＝PC。故本题求“PA＋PB”的最小值可以转化为“PA＋PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当 A、P、C 三点共线时，“PA＋PC”值最小。 模块一 胡不归模型 【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线 2023·西安·二模 1． 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，点在线段上，且，点为线段上的一个动点，则的最小值为 ． 2023·保定·一模 2． 如图，在矩形中，对角线交于点O，，点M在线段上，且．点P为线段上的一个动点．    （1） °； （2）的最小值为 ． 2023·湘西·中考真题 3． 如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    4． 如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ． 2023·江苏宿迁中考模拟 5． 如图，二次函数与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿运动到点A停止，则时间最短为 秒． 2023·四川自贡·统考中考真题 6． 如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    2023·成都市七中校考 7． 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，沿直线翻折，点的对应点恰好落在对角线上，点的对应点为，点为线段上一动点，则的最小值为 ． 【题型2】胡不归模型·构造相关角再作垂线 8． 如图，在长方形中，，，点在上，连接，在点的运动过程中，的最小值为 ．    2023·广西二模 9． 如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点．当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则 ． 10． 如图，，，，点为上一点，连接，则的最小值为 　3　． 11． 如图，是圆的直径，，弧，点是弦上的一个动点，那么的最小值为　　 A． B． C． D． 12． 如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是　　 A． B． C． D．8 13． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF＋FB的最小值是 14． 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .     【题型3】胡不归模型·取最值时对其它量进行计算 2023·广东深圳·统考三模 15． 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上． （1）试说明CE是⊙O的切线； （2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O