专题05 一元二次方程（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（广东专用）

专题05 一元二次方程核心知识点精讲 1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法，包括直接开方法、配方法、公式法、因式分解法等． 3．理解根的判别式的定义． 4．掌握一元二次方程的根与系数关系。 5. 掌握一元二次方程的应用方法。 考点1 一元二次方程的概念 1.一元二次方程定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。 考点2 一元二次方程的解法 1.直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 2.配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。 3.公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式： 4.因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 如，则。 考点3 根的判别式 1.根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即。 （1） 当方程有2个不等的实数根； （2） 当方程有2个相等的实数根； （3） 当方程无实数根； 考点4 一元二次方程的根与系数关系 1.一元二次方程根与系数的关系：如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。 2.一元二次方程根与系数的关系的运用： （1）知道一元二次方程的一根，求另一根； （2）不解方程，求关于一元二次方程的代数式的值，如： ①； ②； ③ 考点5 一元二次方程的应用 1.列一元二次方程解应用题的步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）作答. 2.常见的题型 （1）增长率问题：设a为原来的量，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+x）n=b；当x为下降率时，则有a（1-x）n=b； （2）面积问题常见图形： （3）利润问题； （4）握手问题。 【题型1：一元二次方程的概念】 【典例1】（2023秋•宝安区校级）下列是一元二次方程的是（　　） A．x3﹣x＝1 B． C．x2﹣x+1＝0 D． 1．（2022秋•增城区校级期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．x﹣y＝1 B．x＝3 C．x2﹣1＝0 D．xy﹣1＝0 2．（2022秋•新会区校级期中）下列方程中是一元二次方程的是（　　） ①2（x+1）2＝0； ②x+2y＝6； ③x2﹣4x﹣5＝0； ④3x2＝5． A．①③④ B．①④ C．①③ D．③④ 3．（2023秋•南海区期中）一元二次方程4x2+1＝6x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．4，1，6 B．4，6，1 C．4，﹣6，1 D．4，﹣6，﹣1 【题型2：一元二次方程的解法】 【典例2】（2023•南海区模拟）已知a是方程x2﹣2x﹣2023＝0的根，则代数式2a2﹣4a﹣2的值为（　　） A．4044 B．﹣4044 C．2024 D．﹣2024 【典例3】（2023秋•白云区期中）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10 【典例4】（2023秋•东莞市校级期中）请用两种方法解方程：x2﹣6x+5＝0． 1.（2023秋•廉江市）若x＝1是方程x2﹣2x+a＝0的根，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 2．（2023秋•龙华区校级）把方程x2﹣6x+1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3，8 B．3，10 C．﹣3，10 D．﹣3，8 3．（2023秋•宝安区期中）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，则配方正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝7 D．（x+2）2＝7 4．（2023秋•中山市期中）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+4＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x+6）2＝5 B．（x﹣6）2＝5 C．（x+3）2