上海市崇明区2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试卷

2023学年第一学期高三第一次模拟考试 数 学 考生注意： 1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．不等式的解是 ． 2．双曲线的焦距是 ． 3．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ． 4．已知等比数列首项，公比，则 ． 5．的展开式中的系数为 ．（用数字作答） 6．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ． 7．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为 ． （第8题图） 8．如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图， 则他平均每场得 分． 9．已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 ． 10．用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同． 你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线． ． 11．已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ． 12．已知正实数满足，，则当取得最小值时， ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】 13．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 14．若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 15．已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是 A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题 C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题 16．若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 如图，四棱锥中，平面，，，， ，E、F分别为PB、AB的中点． （1）求证：平面； （2）求点B到平面的距离． 18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 在中，，． （1）若，求A和外接圆半径R的值； （2）若的面积，求c的值． 19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级： TPI 不低于4 拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵 某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图： （1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率； （2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率． 20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分） 已知抛物线，，直线l交抛物线于点A、D，交抛物线于点B、C，其中点A、B位于第一象限． （1）若点A到抛物线焦点的距离为2，求点A的坐标； （2）若点A的坐标为，且线段AC的中点在x轴上