三角函数常见典型考题赏析-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■赵 昆 三角函数是每年高考的热点之一,高考 主要考查三角函数的图像与性质、三角函数 的化简与求值等。下面就三角函数常见典型 考题,进行实例剖析,供大家学习与参考。 题型1:终边相同的角 终边相同的角之间相差360°的整数倍; 终边在同一直线上的角之间相差180°的整数 倍;终边在相互垂直的两直线上的角之间相 差90°的整数倍。 例1 (1)把-1480°写成α+2kπ(k∈ Z)的形式,其中0≤α≤2π。 (2)在[0°,720°]内找出与角 2π 5 终边相同 的角。 解:(1)因为-1480°=-1480× π 180= - 74π 9 ,而- 74π 9 =-10π+ 16π 9 ,且0≤α≤ 2π,所以α= 16π 9 ,所以-1480°= 16π 9 +2× (-5)π。 (2)由 2π 5= 2π 5× 180° π =72° ,可得终边与 角 2π 5 相同的角为θ=72°+k·360°(k∈Z)。 当k=0时,θ=72°;当k=1时,θ=432°。所 以在[0°,720°]内与角 2π 5 终边相同的角为 72°,432°。 跟踪训练1:已知角α=2025°。 (1)将角α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β< 2π)的形式,并指出角α是第几象限的角。 (2)在区间[-5π,0)上找出与角α 终边 相同的角。 提示:(1)因为α=2025°=2025× π 180= 45π 4 =10π+ 5π 4 ,又5π 4 是第三象限角,所以α 是第三象限角。 (2)由-5π≤2kπ+ 5π 4<0 ,k∈Z,可得 - 25 8<k<- 5 8 ,k∈Z。因为k∈Z,所以k= -3,-2,-1,可得对应的角依次为- 19π 4 , - 11π 4 ,- 3π 4 。 题型2:象限角 判断角α是第几象限角的常用方法:将 α写成β+k·360°(其中k∈Z,β在0°~360° 范围内)的形式,观察角β的终边所在的象限 即可。由α所在的象限确定2α所在的象限 时,应注意2α 可能不再是象限角,对此特殊 情况应特别指出,如α=135°,而2α=270°就 不再是象限角。 例2 若α是第二象限角,则180°-α是 ( )。 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解:α为第二象限角,不妨取α=120°,则 180°-α为第一象限角。应选A。 跟踪训练2:在0°~360°范围内,找出与 下列各角终边相同的角,并判断它们是第几 象限角。 (1)-150°;(2)650°;(3)-950°15'。 提示:(1)因为-150°=-360°+210°,又 210°是第三象限角,所以-150°是第三象限 角。 (2)因为650°=360°+290°,又290°是第 四象限角,所以650°是第四象限角。 (3)因为-950°15'=-1080°+129°45', 又129°45'是第二象限角,所以-950°15'是第 二象限角。 题型3:三角函数角的判断 当角θ的终边在不同象限时,其三个三 14 经典题突破方法 高一数学 2023年12月 角函数值的符号会发生变化,记忆的口诀是“全 正切余”,即第一象限全为正,第二象限正弦为 正,第三象限正切为正,第四象限余弦为正。 例3 若sinαtanα<0,且 cosα tanα<0 ,则角 α是( )。 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解:因 为sinαtanα= sin2α cosα<0 ,所 以 cosα<0。又 因 为 cosα tanα= cos2α sinα <0 ,所 以 sinα<0,所以角α为第三象限角。应选C。 跟踪训练3:“θ为第一或第四象限角”是 “cosθ>0”的( )。 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示:当θ 为 第 一 或 第 四 象 限 角 时, cosθ>0,所以“θ 为第一或第四象限角”是 “cosθ>0”的充分条件。当cosθ>0时,θ为 第一或第四象限角或x 轴正半轴上的角,所 以“θ为第一或第四象限角”不是“cosθ>0” 的必要条件。故“θ为第一或第四象限角”是 “cosθ>0”的充分不必要条件。应选A。 题型4:sinα±cosα与sinαcosα关系的 应用 sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这 三个式子,已知其中一个,可以求其他两个, 即“知一求二”,它们之间的关系是(sinα± cosα)2=1±2sinαcosα。求sinα+cosα或 sinα-cosα的值,要注意根据角α所在的象 限判断它们的符号。 例4 (1)若sinα·cosα= 3 8 ,且π