2023年高考“三角变换”问题聚焦-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■王美亭 2023年高考“三角变换”主要围绕“三角 函数的定义、利用三角公式求值、方程组观念 的应用、合理的降次和辅助角公式,以及三角 换元求最值”等展开,彰显“目标意识下合理 选择公式,通过变角、变名称、变结构,达到化 异为同”的解题理念,以及“整体变量和方程 组观念”“转化化归和数形结合”素养的具体 应用。 聚焦1:利用“同角关系和三角函数定 义”求值 例1 (2023 年 高 考 全 国 卷)若θ∈ 0, π 2 ,tanθ=12,则sinθ-cosθ= 。 解法1:利用三角函数的定义求解。因为 θ∈ 0, π 2 ,tanθ=12=yx,所以令x=2,y= 1。设θ终边上一点P(2,1),则r=|OP|= 5,所以sinθ-cosθ= 1 5 - 2 5 =- 5 5 。 解法2:利用同角三角关系构建方程组 求解。因 为 θ∈ 0, π 2 ,所 以 sinθ>0, cosθ>0。又因为tanθ= sinθ cosθ= 1 2 ,所以 cosθ=2sinθ,所以cos2θ+sin2θ=4sin2θ+ sin2θ=5sin2θ=1,解得sinθ= 5 5 或sinθ= - 5 5 (舍去)。故sinθ-cosθ=sinθ-2sinθ =-sinθ=- 5 5 。 解法3:利用切化弦求解。由tan2θ= sin2θ cos2θ = 1-cos2θ cos2θ = 1 4 得cos2θ= 4 5 。因为θ∈ 0, π 2 ,所以cosθ=255 ,sinθ= 1-cos2θ = 5 5 。故sinθ-cosθ=- 5 5 。 解法 4:利 用 平 方 化 弦 求 解。由θ∈ 0, π 2 ,且tanθ=12<1,可得0<θ<π4,所 以sinθ<cosθ,所 以 sinθ-cosθ= - tan2θ-2tanθ+1 tan2θ+1 =- 5 5 。 体验:三角函数求值要注意消元法与方 程思想的应用。利用sin2α+cos2α=1可实 现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在 象限确定符号;利用sinα cosα=tanα 可实现角α 的弦切互化。 变式 1:(2023 年 高 考 北 京 卷)已 知 P sin 5π 6 ,cos 5π 6 是角α 的终边上一点,则 cosα= ,角α的最小正值是 。 提示:由 P sin 5π 6 ,cos 5π 6 是角α 的终 边上一点,可得cosα= sin 5π 6 sin2 5π 6+cos 25π 6 = sin 5π 6 = 1 2 。由sin 5π 6 = 1 2>0 ,cos 5π 6 = - 3 2<0 ,可知点P 在第四象限,即α是第四 象限角,所以α=2kπ- π 3 ,k∈Z。故当k=1 时,α取得最小正值为 5π 3 。 聚焦2:利用“和差角和倍角公式”求值 例2 (2023年高考上海卷)若tanα= 3,则tan2α= 。 解:直接利用二倍角的正切公式求值。 因为 tanα=3,所 以tan2α= 2tanα 1-tan2α = 2×3 1-32 =- 3 4 。 体验:对于和差角公式和倍角公式,要掌 握公式的推导和公式推导过程中所隐含的三 93 创新题追根溯源 高一数学 2023年12月 角变换方法。 变式2:角α,β满足sin(α+β)+cos(α+ β)=22cosα+ π 4 sinβ,则( )。 A.tan(α+β)=1 B.tan(α+β)=-1 C.tan(α-β)=1 D.tan(α-β)=-1 提示:(直接法)由已知得sinαcosβ+ cosαsinβ+cosαcosβ-sinαsinβ=2(cosα- sinα)sinβ,即 sinαcosβ-cosαsinβ+ cosαcosβ+sinαsinβ=0,也即sinα-β + cos(α-β)=0,所以tanα-β =-1。应选 D。 (特殊值排除法)设β=0,结合条件得 sinα+cosα=0,排除A,C。取α=0,结合条 件得sinβ+cosβ=2sinβ,即cosβ-sinβ= 0,排除B。应选D。 聚焦3:方程组观念和二倍角公式的应用 例3 (2023年新高考卷)已知sin(α- β)= 1 3 ,cosαsinβ= 1 6 ,则cos(2α+2β)= 。 解:先 利 用 和 差 角 的 正 弦 公 式 求 出 sin(α+β),再利用二倍角的余弦公式求解。 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 1 3 , cosαsinβ= 1 6 ,所以sinαcosβ= 1 2 ,所以 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 1 2+ 1 6= 2 3 ,所以cos(2α+2β)=1-