三角函数解析式中ω的求解策略-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

ω ■翁志坚 在三角函数的图像与性质中,求解参数 ω 的值或取值范围问题一直是高考命题的一 个热点,也是同学们学习的一个难点。下面 结合实例,从三角函数的周期性、单调性、最 值、零点,以及图像的视角应用,说明在不同 条件下求解参数ω 的技巧与策略。 一、根据函数的周期性求ω 在三角函数y=Asin(ωx+φ)中,函数 的最小正周期T 与参数ω 密切相关,利用三 角函数的周期公式T= 2π |ω| 构建两者之间的 联系,从而确定参数ω 的值或取值范围。 例1 已 知 函 数 f(x)=2sin ωx+ π 4 +b(ω>0)的最小正周期 T 满足π2< T< 3π 2 ,且点P - π 8 ,1 是f(x)的一个对称 中心,则ω= 。 分析:根据题设条件,先利用函数f(x) 的周期构建参数ω 的不等式,得到参数ω 的 取值范围,再利用函数的对称中心,构建参数 ω 的关系式,求得参数ω 的值。 解:因为函数f(x)=2sinωx+ π 4 +b (ω>0)的最小正周期T 满足 π 2<T< 3π 2 ,所 以 π 2< 2π ω < 3π 2 ,解得4 3<ω<4 。因 为 点 P - π 8 ,1 是f(x)的一个对称中心,所以 b=1,且- ωπ 8 + π 4=kπ (k∈Z),所以ω= -8k+2(k∈Z)。 因为 4 3<ω<4 ,取k=0,所以ω=2。 二、根据函数的单调性求ω 对于函数y=Asin(ωx+φ)的单调性, 一方面与参数ω 的值的正负有关,另一方面, 单调区间的长度也与周期有关。周期的大小 由参数ω 决定,三角函数的单调性、单调区间 与参数ω 的值密切相关,因此利用三角函数 在区间上的单调性可以确定参数ω 的值或取 值范围。 例2 已 知 函 数 f(x)=sin ωx+ π 6 (ω>0)在区间 -π4,2π3 上单调递增,则 ω 的取值范围为( )。 A.0, 9 3 B.0,12 C.12 ,8 3 D.38,2 分析:利用函数f(x)的单调区间的两个端 点处的三角函数值恰好位于正弦函数的一个单 调递增区间内,建立相应的不等式,结合参数ω 的限制条件,即可求出ω的取值范围。 解:因为函数f(x)在区间 - π 4 ,2π 3 上 单调递增,所以 - ωπ 4+ π 6≥- π 2+2kπ , 2ωπ 3 + π 6≤ π 2+2kπ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈ Z,解得 ω≤ 8 3-8k , ω≤ 1 2+3k , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z。因为ω>0,取 k=0,所以0<ω≤ 1 2 。应选B。 三、根据函数的最值(或极值)求ω 三角函数的最值(或极值)与其单调性、 单调区间的长度密切相关,而这些都与三角 函数的周期密不可分,因此利用三角函数的 最值(或极值)可以确定参数ω 的值或取值 范围。 例3 设函数f(x)=sinωx+ π 6 (ω> 0)在区间 π2 ,π 上单调,且在区间 0,π3 上 73 创新题追根溯源 高一数学 2023年12月 存在极值点,则ω 的取值范围是( )。 A.0,2 B.1,2 C.23 ,4 3 D.1,43 分析:利用三角函数的单调性与周期性 的关系及周期公式,结合三角函数的最值即 可求解。 解:因为函数f(x)=sinωx+ π 6 (ω> 0)在 0, π 3 上存在极值点,所以π3ω+π6> π 2 ,即ω>1。 因为函数f(x)=sinωx+ π 6 (ω>0) 在 π 2 ,π 上 单 调,所 以 当 x∈ π2,π 时, ωπ 2+ π 6 ,ωπ+ π 6 ⊆ π2+kπ,3π2+kπ (k∈ Z),即 ωπ 2+ π 6≥ π 2+kπ , ωπ+ π 6≤ 3π 2+kπ , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 k∈Z,解得 2 3+ 2k≤ ω ≤ 4 3 + k , k ∈ Z。 由 2 3+2k≤ 4 3+k , 2 3+2k>0 , 4 3+k>0 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 k∈Z,解得k=0,则 2 3≤ω≤ 4 3 。综上得1<ω≤ 4 3 。应选D。 四、根据函数的零点求ω 研究三角函数的零点问题时,可采取整 体换元思想,即通过ωx+φ 的取值确定三角 函数的零点情况。反之,可根据三角函数的 零点确定参数ω 的值或取值范围。 例4 记函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω> 0,0<φ<π)的最小正周期为T。若f(T)= 3 2 ,x= π 9 为函数f(