三角函数背景下的一题多变-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■张得志 三角函数是高中的必学知识,也是高考 的必考知识。三角函数的公式多,变换多,解 法多,因此同学们在学习时,一定要引起足够 的重视。下面就三角函数背景下的一题多变 进行实例剖析。 一、一题多变之诱导公式 例1 已知tan π6-α = 33,求tan5π6+ α 的值。 解法1:tan5π6+α =tanπ-π6+α = tanπ- π6-α =-tan π6-α =- 33。 解法2:因为 π6-α + 5π6+α =2π,所 以 5π 6+α=2π- π 6-α ,所以tan5π6+α = tan2π- π6-α =-tan π6-α =- 33。 评析:对于有题设条件的三角函数求值 问题,求解的一般方法是从角的关系上寻求 突破,找到所求角与已知角之间的关系,结合 诱导公式,把所求式转化为已知式,从而完成 求值。 变 式 1:已 知 cos 2π3-α = 33,求 sin5π6+α 的值。 提示:因为 2π 3-α + 5π6+α =3π2,所 以 5π 6+α= 3π 2- 2π 3-α ,所以sin5π6+α = sin3π2- 2π 3-α =-cos2π3-α =-33。 变式2:若cos π12-θ =13,求sin5π12+ θ 的值。 提示:因为 π 12-θ + 5π12+θ =π2,所 以 sin 5π12+θ = sin π2- π12-θ = cos π12-θ =13。 变式3:已知cosα-75° =- 1 3 ,且α为 第四象限角,求sin105°+α 的值。 提示:因为cosα-75° =- 1 3<0 ,且α 为第四象限角,所以α-75°是第三象限角,所 以sin α-75° = - 1-cos2 α-75° = - 22 3 ,所以sin(105°+α)=sin[180°+(α- 75°)]=-sinα-75° = 22 3 。 二、一题多变之三角函数的图像 例2 函数y=cosx|tanx|0≤x< 3π 2 且x≠ π 2 的图像是( )。 解:由题意得函数y=cosx|tanx|= sinx,0≤x< π 2 或π≤x< 3π 2 , -sinx, π 2<x<π 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 结 合 选 项 可 知,C符合题意。应选C。 53 创新题追根溯源 高一数学 2023年12月 评析:本题考查了三角函数的图像,体现 了直观想象和数形结合思想运用的核心素养。 变式1:函数y=cosx+|cosx|,x∈[0, 2π]的大致图像为( )。 提示:由题意得函数y=cosx+|cosx| = 2cosx,0≤x≤ π 2 或 3π 2≤x≤2π , 0, π 2<x< 3π 2 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 结 合 选 项可知,D符合题意。应选D。 例3 将 函 数 f(x)=sin(ωx+φ) ω>0,- π 2≤φ≤ π 2 图像上每一点的横坐 标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平 移 π 6 个单位长度得到y=sinx 的图像,求 f π 6 的值。 解:把函数y=sinx 的图像向左平移 π 6 个单位长度得到y=sinx+ π 6 的图像,再 把函数y=sinx+ π 6 图像上每一点的横 坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函 数f(x)=sin 1 2x+ π 6 的 图 像,所 以 f π 6 =sinπ4= 22。 评析:本题主要考查三角函数图像的平 移和伸缩变换。 变式1:已知函数y=sinx,由y=sinx 的图像作怎样的变换可得到y=2sin2x- π 3 的图像? 提示:把y=sinx 图像上所有点向右平 移 π 3 个单位,得到y=sinx- π 3 的图像,再 把y=sinx- π 3 图像上的点的横坐标缩短 到原 来 的 1 2 (纵 坐 标 不 变),得 到 y= sin2x- π 3 的图像,最后把y=sin2x-π3 图 像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐 标不变),即得函数y=2sin2x- π 3 的图像。 变式2:将例3中函数f(x)的图像向左 平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图像 关于y 轴对称,求m 的最小值。 提示:把f(x)=sin 1 2x+ π 6 图像上所 有的点向左平移m 个单位长度后,得到y= sin 12x+ m 2+ π 6 的图像,此图像关于y 轴 对称,则m 2+ π 6=kπ+ π 2 (k∈Z),所以 m= 2kπ+ 2π 3 (k∈Z)。又