三角函数易错点剖析～巧思维切人，妙方法应用-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■陈 敏1 张启兆2 三角函数作为基本初等函数,是高考命 题的热点。三角函数的公式多,变换多,因此 同学们解题时,往往容易产生错解。下面就 常见的两种易错点进行举例剖析。 一、忽视题目中的隐含条件 例1 已知sinθ+cosθ= 1 5 ,θ∈ 0,π , 则tanθ= 。 错解:由sinα+cosα= 1 5 ,两边平方得 sin2α+2sinαcosα +cos2α = 1 25 ,所 以 sin2α+2sinαcosα+cos2α sin2α+cos2α = 1 25 。据此分子、 分母同除以cos2α 得 tan2α+2tanα+1 tan2α+1 = 1 25 , 解得tanα=- 4 3 或tanα=- 3 4 。 剖析:上述错解忽视了角θ∈ 0,π 。由 sinθcosθ<0,可得θ 为第二象限角,所以 sinθ>0,cosθ<0,则sinθ-cosθ>0。 正解:由sinθ+cosθ= 1 5 ,两边平方得 1+2sinθcosθ= 1 25 ,即sinθcosθ=- 12 25<0 。 因为θ∈ 0,π ,sinθcosθ<0,所以θ为 第二象限角,所以sinθ>0,cosθ<0,所以 sinθ-cosθ>0。所 以 sinθ-cosθ= sinθ-cosθ 2= 1-2sinθcosθ= 7 5 。 由 sinθ+cosθ= 1 5 , sinθ-cosθ= 7 5 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解 得 sinθ= 4 5 , cosθ=- 3 5 ,所以tanθ= sinθ cosθ=- 4 3 。 二、分类讨论出现遗漏 例2 化简:sinnπ2+α ,n∈Z。 错解:对n 进行分类讨论求解。当n= 2k+1(k∈Z)时,sinnπ2+α =sinkπ+ π 2+α =sin π2+α =cosα;当n=2k(k∈ Z)时,sinnπ2+α =sin(kπ+α)=-sinα。 故sinnπ2+α =-sinα或sinnπ2+α = cosα。 剖析:上述错解的分类讨论的标准不合 理。分类讨论时,既不能重复,也不能遗漏。 正解:对n 进行分类讨论求解。当n= 4k(k∈Z)时,sinnπ2+α =sin(2kπ+α)= sinα;当n=4k+1(k∈Z)时,sinnπ2+α = sin2kπ+ π 2+α =cosα;当n=4k+2(k∈ Z)时,sin nπ2+α =sin(2kπ+π+α)= -sinα;当 n = 4k + 3 (k ∈ Z)时, sinnπ2+α =sin2kπ+3π2+α =-cosα。 故sinnπ2+α =±sinα或sinnπ2+α = ±cosα。 求函数y=sin π 4-2x 的单调递增区间。 提示:只需求y=sin2x- π 4 的单调 递减 区 间 即 可。令 2kπ+ π 2 ≤2x- π 4 ≤ 2kπ+ 3π 2 ,k∈Z,解得kπ+ 3π 8≤x≤kπ+ 7π 8 , k∈Z,即函数的单调递增区间为 kπ+ 3π 8 , kπ+ 7π 8 (k∈Z)。 作者单位:1.江苏省无锡市第六高级中学 2.江苏省无锡市青山高级中学 (责任编辑 郭正华) 23 易错题归类剖析 高一数学 2023年12月 ———一道三角函数求值问题的探究 ■陈 婷 三角函数的求值问题,融合了三角函数 的基本概念、基本公式、三角函数的图像与性 质等,是三角函数的难点之一,成为高考命题 中的一个重要考点。此类问题,知识交汇融 合,思维视角多样,方法技巧多变,是全面考 查数学“四基”与数学能力、展示知识交汇与 体现方法多样性的一个重要场所,倍受大家 的关注。 一、问题呈现 已知 sin4α sin2β + cos4α cos2β =1,则 sin4β sin2α + cos4β cos2α = 。 二、问题破解 解法 1:(三 角 转 换 法)由 已 知 条 件 sin4α sin2β + cos4α cos2β = 1,可 得 sin4αcos2β + cos4αsin2β=sin2βcos2β,所 以 sin4αcos2β+ (1- sin2α)2sin2β - sin2βcos2β = 0,即 sin4αcos2β+ (1-2sin2α+sin4α)sin2β- sin2βcos2β=0,可得sin4α(sin2β+cos2β)+ sin2β(1-cos2β)-2sin2αsin2β=0,所 以 sin4α+sin4β-2sin2αsin2β=0,即(sin2α- sin2β)2=0,所以sin2α=sin2β。由平方关系 得1-cos2α=1-c