与三角函数有关的最值问题的求解策略～三角巧变换，“五变妙应用-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■王 健 三角函数中的最值问题一直是高考的常 考点,这部分内容的综合性强,涉及的知识点 较多,是同学们学习的一个难点。下面就此 问题进行举例分析,供同学们学习与参考。 一、利用三角函数的有界性求最值 例1 函数f(x)=(1+sinx)(sin2x+ cos2x-sinx)的最小值是 。 解:f(x)=(1+sinx)(1-sinx)=1- sin2x=cos2x= 1 2cos2x+ 1 2 。因为-1≤ cos2x≤1,所以f(x)的最小值是0。 评注:熟记正弦函数y=sinx 和余弦函 数y=cosx 的值域是解题的关键。 二、利用三角函数的单调性求最值 例2 已知ω>0,函数f(x)=sinωx+ π 4 在 π2,π 上单调递减,则ω 的取值范围 是( )。 A.12 ,5 4 B.12,34 C.0, 1 2 D.(0,2) 解:由π 2<x<π ,ω>0,可得 ωπ 2+ π 4< ωx+ π 4<ωπ+ π 4 。因为函数y=sinx 在(0, 2π)上 的 单 调 递 减 区 间 为 π2 ,3π 2 ,所 以 ωπ 2+ π 4≥ π 2 , ωπ+ π 4≤ 3π 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 1 2≤ω≤ 5 4 。应选A。 评注:注意“函数f(x)在区间(a,b)上单 调递增”与“函数f(x)的单调递增区间为(a, b)”,二者是不相同的。 三、利用三角函数的对称性求最值 例3 (1)将函数f(x)=cos2x 的图像 向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数 g(x)的图像,若函数g(x)的图像关于原点 对称,则φ的最小值为 。 (2)将函数f(x)=sinωx- π 4 (ω>0) 的图像向右平移 π 3 个 单 位 长 度 得 到 函 数 g(x)的图像,若函数f(x)和g(x)的图像都 关于x= π 4 对称,则ω 的最小值为 。 解:(1)由题意得g(x)=cos[2(x+φ)] =cos(2x+2φ)。因为g(x)的图像关于原 点对称,所以2φ= π 2+kπ ,k∈Z,可得φ= π 4+ kπ 2 ,k∈Z。因为φ>0,所以φ 的最小值 是 π 4 。 (2)由题意得函数g(x)=sin ω x- 􀭠􀭡 􀪁􀪁 π 3 -π4 。若f(x)和g(x)的图像都关于 x= π 4 对称,则f x+ π 4 和g x+π4 的图像 都关于y 轴对称,而f x+ π 4 =sinωx+ 􀭠􀭡 􀪁􀪁 π 4 -π4 =sinωx+ωπ4-π4 ,g x+π4 = sin ωx+ π 4- π 3 -π4 =sin ωx-ωπ12- π 4 ,所以ωπ4-π4=π2+k1π,且-ωπ12-π4= π 2+k2π ,k1,k2∈Z,所以ω=3k1-k2 = 3k,k,k1,k2∈Z。又ω>0,故ω 的最小值 为3。 评注:函数y=sinx 的图像既关于原点 成中心对称,又关于直线x=kπ+ π 2 ,k∈Z 对称;函数y=cosx 的图像关于直线x= kπ,k∈Z对称。 作者单位:湖北省巴东县第三高级中学 (责任编辑 郭正华) 22 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 ■许 珍 三角函数的求值、化简或证明是三角恒 等变换的重要内容之一。在高考中,一般与 三角函数有关的问题,都以三角恒等变换为 重要手段,变换时,经常用到同角三角函数基 本关系式、诱导公式、和差倍半公式等,还涉 及因式分解、换元法,以及分类讨论思想等。 一、角的变换 在三角函数的化简、求值或证明中,角的 变换是最基本的。为了得到合理的角的变 换,就必须观察所求问题中的角与已知条件 中的角之间的联系,消除条件与结论中角的 差异,使得所求问题顺利获解。常见角的变 换有α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β), 2α-β=(α-β)+α, π 4±α 可视为 π 2±2α 的 半角等。 例1 已知△ABC 中,cosA- π 6 = - 1 3 ,那么sinA+ π 6 +cosA= 。 解:依 题 意 得cos A- π 6 =sin π2+ A- π 6 =sinA+π3 =-13,所以sinA+ π 6 +cosA=32sinA+12cosA+cosA=3· 1 2sinA+ 3 2cosA =3sinA+π3 =-33。 将条件中的角与结论中 的角进行合理的变角处理,或 将所求角拆成已知角,是连接和沟通已知与 结论的重要手段。注意常用到的一些变角代 换有:单角化复角(这里所说的复角是指由