三角函数的图像与性质的重点，难点突破-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■胡 兴 三角函数的图像与性质是三角函数的主 要内容,要想学好三角函数的图像与性质,就 要掌握其重点和难点,下面就此实例剖析。 重点:有关三角函数的奇偶性与单调性 1.三角函数的奇偶性与应用 例1 (1)函数y=sin 2015 2 π-2016x 是 ( )。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 (2)已知a∈R,函数f(x)=sinx-|a| (x∈R)为奇函数,则a等于( )。 A.0 B.1 C.-1 D.±1 (1)因 为 y=sin 2015 2 π- 2016x = sin π2-2016x +1007π = -sin π2-2016x =-cos2016x,所以此函 数为偶函数。应选B。 (2)此函数的定义域为R。因为f(x)为 奇 函 数,所 以 f -x = -f (x),即 sin -x -|a|=-sinx+|a|,所以|a|= 0,所以a=0。应选A。 例2 判断函数 f(x)= 2sin2x+ 5π 2 的奇偶性。 函数f(x)的定义域为 R。 f (x)= 2sin 2x+ 5π 2 = 2sin2x+ π 2 = 2cos2x,显然f -x = f(x)成立,所以f(x)= 2sin2x+ 5π 2 为偶 函数。 判断三角函数的奇偶性, 应先求出函数的定义域,在定 义域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下,再 根 据 f -x 与f(x)及-f(x)的关系进行判断。 判断函数奇偶性应把握的两个方面:一看函 数的定义域是否关于原点对称;二看f(x)与 f -x 的关系。对于三角函数奇偶性的判 断,有时可根据诱导公式先将函数式化简,再 进行判断。 2.正弦(或余弦)函数的单调区间与应用 例3 (1)求函数y=sin π 6-x 的单调 递减区间。 (2)已知函数y=cosx 在区间[-π,a] 上为增函数,求a的取值范围。 (1)函数y=sin π 6-x = -sinx- π 6 。令z=x-π6,则y=-sinz。 要求y=-sinz 的递减区间,只需求 sinz的递增区间。由2kπ- π 2≤z≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,可得2kπ- π 2≤x- π 6≤2kπ+ π 2 , k∈Z,所以2kπ- π 3≤x≤2kπ+ 2π 3 ,k∈Z。 故函数y=sin π 6-x 的单调递减区间 为 2kπ- π 3 ,2kπ+ 2π 3 ,k∈Z。 (2)因为y=cosx 在[-π,0]上是增函 数,在[0,π]上是减函数,所以当-π<a≤0 时满足条件,所以a∈(-π,0],即a 的取值 范围是(-π,0]。 例4 求函数y=2cos π 4-x 的单调递 增区间。 71 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 y=2cos π 4-x =2cosx-π4 。 由2kπ-π≤x- π 4≤2kπ (k∈Z),可得 2kπ- 3π 4≤x≤2kπ+ π 4 (k∈Z),所以函数 y=2cos π 4-x 的单调递增区间为 2kπ- 􀭠􀭡 􀪁􀪁 3π 4 ,2kπ+ π 4 (k∈Z)。 求形如y=Asin(ωx+ φ)+b或形如y=Acos(ωx+ φ)+b(其中A≠0,ω>0,b为常数)的函数的 单调区间,可借助正弦函数、余弦函数的单调 区间,通过解不等式求得。具体求解时,应注 意三点:要把ωx+φ 看作一个整体,当ω<0 时,先用诱导公式将式子变形,将x 的系数化 为正数;在 A>0,ω>0的情况下,将“ωx+ φ”代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以 解得与之单调性一致的单调区间;在A<0, ω>0的情况下,同样方法可求得与正弦(或 余弦)函数单调性相反的单调区间。 难点:利用正弦(或余弦)函数的图像解 不等式 例5 求不等式sinx≥ 1 2 的解集。 在同一直角坐标系下,作出 函数y=sinx,x∈[0,2π]及直 线y= 1 2 的图像,如图1所示。 图1 由函数的图像可知,sin π 6=sin 5π 6= 1 2 。 当0≤x≤2π时,sinx≥ 1 2 的解为 π 6≤ x≤ 5π 6 。 所 以 不 等 式 sinx ≥ 1 2 的 解 集 为 x 2kπ+ π 6≤x≤2kπ+ 5π 6 ,k∈Z 。 例6 求不等式sinx< 1 2 的解集。 在同一直角坐标系下,作出 函数y=sinx,x∈ π 2 ,5π 2 及 y= 1 2 的图像,如图2所示。 图2 由函数的图像可知,当sinx< 1 2 时, 5π 6<x< 13π 6 ,所 以 sinx< 1 2 的 解 集 为 x