三角变换中的小结论的妙用-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■何 敏 结论1:sin3θ=3sinθ-4sin3θ;cos3θ= 4cos3θ-3cosθ。 证明:sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+ cos2θsinθ=2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ= 2sinθ(1-sin2θ)+sinθ-2sin3θ=3sinθ- 4sin3θ。 cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ- sin2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ-2sin2θcosθ =2cos3θ-cosθ-2cosθ(1-cos2θ)=4cos3θ -3cosθ。 例1 设α为第四象限的角,若 sin3α sinα= 13 5 ,则tan2α= 。 解:由sin3α sinα= 13 5 ,可得3sinα-4sin 3α sinα = 13 5 ,即3-4sin2α= 13 5 ,所以sin2α= 1 10 。 因为α 为第四象限的角,所以sinα= - 10 10 ,cosα= 1-sin2α= 3 10 10 ,所 以 tanα=- 1 3 。故tan2α= 2tanα 1-tan2α =- 3 4 。 例2 sin3αsin3α+cos3αcos3α 化简为 。 解:sin3αsin3α+cos3αcos3α=sin2α· sinαsin3α+cos2αcosαcos3α= 1-cos2α 2 · sinαsin3α+ 1+cos2α 2 ·cosαcos3α= 1 2 (sinαsin3α+cosαcos3α)+ 1 2cos2α · (-sinαsin3α+cos3αcosα)= 1 2cos (α-3α)+ 1 2cos2αcos (3α+α)= 1 2cos2α+ 1 2cos2α · cos4α= 1 2cos2α (1+cos4α)= 1 2cos2α · 2cos22α=cos32α。 简评:结论1也叫三倍角公式,它的变形 需要熟练掌握,利用结论1可以简化解题步 骤,提高解题速度。 结论2:tanα+tanβ+tan(α+β)tanα· tanβ=tan(α+β)。 证明:因为tan(α+β)= tanα+tanβ 1-tanαtanβ ,所以 tanα+tanβ=tan(α+β)-tanαtanβtan(α+β), 即tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+ β)。 例3 tan10°+tan35°+tan10°tan35° 的值为 。 解:由tan10°+tan35°+tan10°tan35° =tan10°+tan35°+tan45°tan10°tan35°,结 合结 论 2 可 得,原 式 =tan(10°+35°)= tan45°=1。 例4 tan20°+tan40°+3tan20°tan40°的 值是 。 解:由tan20°+tan40°+3tan20°tan40°= tan20°+tan40°+tan60°tan20°tan40°,结合结 论2可得,原式=tan(20°+40°)=tan60°= 3。 简评:结论2实际是两角和的正切公式 的变形,巧妙利用结论2,可以简化解题步 骤,提高解题速度。 结论3:在非直角△ABC 中,tanA+ tanB+tanC=tanAtanBtanC。 证明:在△ABC 中,由A+B+C=π,可 得A+B=π-C,所以tan(A+B)=tan(π- C),即 tanA+tanB 1-tanAtanB=-tanC ,所以tanA 51 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 +tanB=-tanC+tanAtanBtanC,可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。 例5 在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB,且sinAcosA= 3 4 ,则此 三角形为( )。 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 解:由结论3知,在△ABC 中,tanA+ tanB+tanC=tanAtanBtanC。因为tanA +tanB+ 3= 3tanAtanB,所以tanC= 60°。又sinAcosA= 3 4 ,即sin2A= 3 2 ,所 以2A=60°或2A=120°,即 A=30°或 A= 60°。 当A=30°时,B=90°,此时tanB 无意 义,所以A=60°,B=60°,所以此三角形为等 边三角形。应选D。 例6 化简 tan20°+tan40°+tan120° tan20°tan40° = 。 解:由20°+40°+120°=180°,结合结论3得 tan20°+tan40°+tan120°=tan20°tan40°· tan120°,