三角函数求值题型举例-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■陈泽民 三角函数求值问题的关键是找出条件中 的角与结论中的角的联系,依据函数名称的 变换特点,选择合适的公式求解。下面就三 角函数求值题型进行举例分析,供大家学习 与提高。 一、利用三角函数的定义求值 例1 已知角α的终边与单位圆的交点 为P - 1 2 ,y ,则sinαtanα= 。 解:设O 为坐标原点,由|OP|2= 1 4+ y2=1,可得y=± 3 2 。 (方法1)当y= 3 2 时,sinα= 3 2 ,tanα= - 3,此时sinαtanα=- 3 2 ;当y=- 3 2 时, sinα=- 3 2 ,tanα= 3,此时sinαtanα= - 3 2 。故sinαtanα=- 3 2 。 (方法2)由三角 函 数 定 义 知cosα= - 1 2 ,sinα=y,所以sinαtanα=sinα· sinα cosα = sin2α cosα=- 3 2 。 定义法求三角函数值的 三种类型:已知角α终边上一 点P 的坐标,求角α 的三角函数值,先求 P 到原点的距离,再利用三角函数的定义求解; 已知角α的某个三角函数值,求角α 终边上 一点P 的坐标中的参数值,可根据定义中的 两个量列方程求参数值;已知角α 的终边所 在的直线方程或角α 的大小,根据三角函数 的定义可求角α终边上某特定点的坐标。 二、利用诱导公式求值 例2 已知cos π6-θ =a,则cos5π6+ θ +sin 2π 3-θ 的值是 。 解:因 为 cos 5π6+θ = cos π- 􀭠􀭡 􀪁􀪁 π 6-θ =-cos π6-θ =-a,sin2π3-θ = sin π2+ π 6-θ =cos π6-θ =a,所 以 cos5π6+θ +sin2π3-θ =0。 诱导公式的应用原则:负 化正、大化小,化到锐角为终 了。诱导公式用角度制和弧度制表示都可, 运用时应注意函数名称的变化,以及正负号 的选取。 三、利用同角三角函数间的关系求值 例3 已知tanα=3,则sin2α-3sinαcosα +1的值为 。 解:(方法1)sin2α-3sinαcosα+1= sin2α-3sinαcosα sin2α+cos2α +1= tan2α-3tanα tan2α+1 +1= 1。 (方法2)因为tanα=3>0,所以α是第 一、三 象 限 角。由 sin2α+cos2α=1, sinα=3cosα, 解 得 sinα= 3 10 10 , cosα= 10 10 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 (α 为 第 一 象 限 角 )或 sinα=- 3 10 10 , cosα=- 10 10 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 (α为第三象限角)。 由上可得sinαcosα= 3 10 。故sin2α- 3sinαcosα+1=1。 已知一个角的某一个三 角函数值,求这个角的其他三 角函数值,这类问题用同角三角函数的基本 31 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 关系式求解,一般分为三种情况:①一个角的 某一个三角函数值和这个角所在的象限或终 边所在的位置都是已知的,此类情况只有一 组解;②一个角的某一个三角函数值是已知 的,但这个角所在的象限或终边所在的位置 没有给出,解答这类问题,首先要根据已知的 三角函数值确定这个角所在的象限或终边所 在的位置,然后分不同的情况求解;③一个角 的某一个三角函数值是用字母给出的,此类 情况要对字母进行讨论,并注意适当选取分 类标准,一般有两组解。 四、利用三角函数性质求值 例4 已知函数f(x)=2sinωx+φ- π 6 (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y= f(x)图像的两相邻对称轴间的距离为 π 2 ,则 f π 8 的值为 。 解:因为f(x)为偶函数,所以φ- π 6= kπ+ π 2 ,k∈Z,解得φ= 2π 3+kπ ,k∈Z。又 0<φ<π,所以φ= 2π 3 ,这时f(x)=2cosωx。 由题意可得 2π ω=2× π 2 ,解得ω=2。故 f(x)=2cos2x,则f π 8 =2cosπ4= 2。 偶函数的图像关于y 轴 对称;函数f(x)=Asin(ωx +φ),f(x)=Acos(ωx+φ)图像上相邻两对 称轴之间的距离为半个周期。 五、利用和差公式求值 例5 已 知α,β 为 锐 角,sinα= 8 17 , cos(α-β)= 21 29 ,则cosβ的值为 。 解:因为sinα= 8 17< 1 2 ,且α∈ 0, π 2 , 所以0<α< π 6 。因为cosα-β = 21 29< 3 2 , 且α-β∈ -