求解三角函数问题常用的数学思想-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■贺显孟 三角函数是高中数学的重要内容之一, 其中蕴含着丰富的数形结合思想、分类讨论 思想、对称思想、等价转化思想、换元思想、函 数与方程思想、整体代换思想等。 一、数形结合思想 图1 例1 已 知 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ)+ b的图像,如图1所示, 则 f(0)+f(1)+ f(2)+…+f(2022)+ f(2023)的值为 。 解:由图像知 A+b= 3 2 , -A+b= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得b=1, A= 1 2 。因为 T=4,所以ω= π 2 ,这时函数 f(x)= 1 2sin π 2x+φ +1。由f(x)的图像 过点 1, 3 2 ,可得12sin π2+φ +1=32,所 以cosφ=1,所以φ=2kπ,k∈Z。取k=0, 可得φ=0,所以函数f(x)= 1 2sin π 2x+1 。 所以 f (0)+f (1)+f (2)+f(3)= 1 2sin0+1 + 12sinπ2+1 + 12sinπ+ 1 + 1 2sin 3π 2+1 =1+32+1+12=4。 因为1+2+…+2023=4×506,所以 f(0)+f(1)+f(2)+ … +f(2022)+ f(2023)=4×506=2024。 评析:数与形是数学中的两个最古老,也 是最基本的研究对象,它们在一定条件下可 以相互转化,形中觅数,数中构形。 二、分类讨论思想 例2 已知角α的终边上一点P(- 3, m)(m≠0),且sinα= 2m 4 ,则sin2α+tan2α 的值为 。 解:由题设知x=- 3,y=m,所以r2= |OP|2= 3 2+m2(O 为原点),可得r= 3+m2。由sinα= m r = 2m 4 ,可 得r= 22,所以r= 3+m2 =2 2,解 得 m= ± 5。 ①当m= 5时,r=22,x=- 3,y= 5,所以cosα=- 6 4 ,sinα= 10 4 ,tanα= - 15 3 。易得sin2α+tan2α=2sinαcosα+ 2tanα 1-tan2α = 3 15 4 。 ②当 m=- 5时,r=2 2,x=- 3, y=- 5,所以cosα=- 6 4 ,sinα=- 10 4 , tanα= 15 3 。易 得 sin2α+tan2α= 2sinαcosα+ 2tanα 1-tan2α = 5 15 4 。 故sin2α+tan2α= 3 15 4 或 5 15 4 。 评析:因为m 的符号不同,点P 的位置 不同,相应的角α的三角函数值不同,所以需 要对m 进行讨论。 三、对称思想 例3 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ≤π)为偶函数,其图像上相邻的 两个 最 高 点 之 间 的 距 离 为 2π。把 函 数 f2x+ π 3 的图像向左平移 m(m>0)个单 位长度使所得函数的图像关于点 π 6 ,0 对 称,则m 的最小值为 。 解:因为f(x)的图像上相邻的两个最高 点之间的距离为2π,所以T= 2π ω=2π ,解得 ω=1,这时f(x)=sinx+φ 。 11 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 由f(x)为偶函数,可得φ=kπ+ π 2 ,k∈ Z。因为0≤φ≤π,所以φ= π 2 ,所以f(x)= cosx,所以f2x+ π 3 =cos2x+ π 3 。将函 数f2x+ π 3 向左平移 m(m>0)个单位长 度得y=cos2x+2m+ π 3 ,此函数图像关 于点 π 6 ,0 对称,所以cos π3+2m+π3 = 0,所以2m+ 2π 3= π 2+kπ ,k∈Z,解得 m= - π 12+ kπ 2 ,k∈Z。因为 m>0,所以当k=1 时,m 有最小值为 5π 12 。 评析:正弦函数和余弦函数的图像上相 邻的两个最高点之间的距离为一个周期。函 数f(x)=cosx 的 图 像 的 对 称 中 心 为 kπ+ π 2 ,0 (k∈Z)。 四、等价转化思想 例4 已知cosα= 1 7 ,cos(α-β)= 13 14 , 且0<β<α< π 2 ,则β= 。 解:由题设得0<α-β< π 2 ,sinα= 43 7 。 由cos(α-β)= 13 14 ,可 得 sin(α-β)= 1-cos2(α-β)= 33 14 。易得cosβ=cos[α -(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α- β)= 1 2 。又0<β< π 2 ,故β= π 3 。 评析:等价转化思想是三角变换中常见的 思想方法。常见的角变换有π 4+α= π 2- π 4- α