三角函数值域或最值问题的常见解法～利用三角函数的性质求参数题型归纳-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■陈 涛 解决三角函数的值域或最值问题,要抓 住题中所给条件的特征,从确定角的范围、辅 助角公式、倍角公式,以及升幂、降幂等入手, 灵活运用整体代换思想、转化与化归思想、分 类讨论思想等。 一、一次型的三角函数 例1 已知函数f(x)=3sinx+4cosx, x1,x2∈R,则f(x1)-f(x2)的最小值是 。 解:由题意得f(x)=3sinx+4cosx= 5 35sinx+ 4 5cosx =5sin(x+φ),其 中 sinφ= 4 5 ,cosφ= 3 5 ,且φ∈ 0, π 2 。因为 f(x)min=-5,f(x)max=5,又x1,x2∈R,所 以f(x1)-f(x2)的最小值是 f(x)min- f(x)max=-10。 评注:对于一次型的三角函数的最值问 题,可化为y=Asin(ωx+φ)+b的形式,先从 整体代换的角度出发,求出ωx+φ的范围,再 转化为熟悉的y=sinx的值域问题求解。 二、二次型的三角函数 例2 已知函数f(x)=sin2x+ 3· sinxcosx。 (1)求f(x)的最小正周期。 (2)若f(x)在区间 - π 3 ,m 上的最大 值为 3 2 ,求m 的最小值。 解:(1)f(x)= 1-cos2x 2 + 3 2sin2x= 3 2sin2x- 1 2cos2x+ 1 2=sin2x- π 6 + 1 2 ,所以f(x)的最小正周期T= 2π 2=π 。 (2)由(1)知f(x)=sin2x- π 6 +12。 由x∈ - π 3 ,m ,可得2x-π6∈ -5π6, 2m- π 6 。要使f(x)在 -π3,m 上的最大 值为 3 2 ,只需sin2x- π 6 在 -π3,m 上的 最大值为1,所以2m- π 6≥ π 2 ,即 m≥ π 3 。 故m 的最小值为 π 3 。 评注:对于二次型的三角函数的最值问 题,可通过二倍角公式进行降幂转化为一次 型的三角函数问题求解。 三、分式型的三角函数 例3 函数f(x)= cosx+1 2cosx-1 的值域是 。 解:(方法1)由函数y= cosx+1 2cosx-1 ,可得 cosx=y +1 2y-1 ,y≠ 1 2 。由-1≤cosx≤1,且 cosx≠ 1 2 ,可得-1≤y +1 2y-1 ≤1,且y +1 2y-1 ≠ 1 2 ,由此解得y≤0或y≥2。故函数f(x)的 值域为(-∞,0]∪[2,+∞)。 (方法2)令cosx=t,t∈ -1, 1 2 ∪ 1 2 ,1 ,则原函数等价于分式函数y=t+12t-1 = 1 2 (2t-1)+ 3 2 2t-1 = 1 2+ 3 2 · 1 2t-1 。因为 2t-1∈[-3,0)∪(0,1],所 以 1 2t-1∈ -∞,- 1 3 ∪[1,+∞),所以32· 12t-1∈ -∞,- 1 2 ∪ 32,+∞ 。故函数f(x)的 值域为(-∞,0]∪[2,+∞)。 评注:分式型的三角函数的最值问题,可 转化为分式函数求解。 作者单位:河南省光山县第二高级中学 (责任编辑 郭正华) 8 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 ■徐佳莹 三角函数是高中数学的重要内容,是每 年高考的常考点,高考主要考查三角函数的 图像与性质的应用。下面就利用三角函数的 性质求参数的题型进行归纳总结。 一、根据三角函数的平移变换求参数的值 例1 将函数y=sin2x 的图像向左平 移φ个单位长度后,得到函数y=sin2x+ π 6 的图像,则φ的值可以是( )。 A. 2π 3 B. π 3 C. π 6 D. π 12 解:函数y=sin2x 的图像向左平移φ 个单位长度后,得到函数的解析式为y= sin2x+φ =sin(2x+2φ)。由函数 y= sin2x+ π 6 ,可得2φ=2kπ+π6(k∈Z),解 得φ=kπ+ π 12k∈Z 。因为四个选项中的 角都是正角且小于π,所以令k=0,可得φ= π 12 。应选D。 评注:函数y=Asin(ωx+φ)+k的图像 平移遵循“左加右减,上加下减”的原则。平 移变换和伸缩变换都是针对x 而言的,即x 本身加减多少值,而不是依赖于ωx 加减多 少值。 二、根据三角函数的奇偶性求参数的最值 例2 已知函数 f(x)= 3sin2x- cos2x,若函数f x+a 是偶函数,则 a 的 最小值为 。 解:由f(x)=2 3 2sin2x- 1 2cos2x = 2sin2x- π 6 ,可得f(x+a)=2sin2x+ 􀭠􀭡 􀪁􀪁 a - π 6 􀭤 􀭥 􀪁􀪁