提炼三角精髓放飞数学思想-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■李 勇 三角函数中蕴含了许多数学思想,数学 学习的精髓主要是思想方法的学习。同学们 在掌握其基础知识的同时,还应注意数学思 想的提炼、总结。那么,在三角函数中有哪些 思想方法呢? 下面详细介绍,供同学们参考。 一、函数与方程思想 例1 已知角α 的终边经过点P(5t, 5t+1),且sinα= 4 5 ,求t的值。 分析:欲求t的值,需找出关于α的等式 关系,利用三角函数的定义即可求解。 解:因为角α 的终边经过点P(5t,5t+ 1),所 以 x=5t,y=5t+1,r=|OP|= (5t)2+(5t+1)2 = 50t2+10t+1(O 为 坐 标 原 点)。结 合 题 设 得 sinα= yr = 5t+1 50t2+10t+1 = 4 5 ,整理得175t2-90t- 9=0,解得t= 3 5 或t=- 3 35 。 评注:方程思想就是用方程的观点分析 所求的量,通过建立等量关系,然后解方程 (组)使问题得到解决。 二、整体思想 例2 设 函 数 f(x)=asin1000· xπ 2+α +bcosxπ2+β +1000,其中a,b, α,β为非零实数,已知f(2011)=-9,求 f(2009)的值。 分析:观察题设及所求式子的特点,可采 用整体代入法求解。 解:由题意得asin10002011π2 +α + bcos2011π2 +β +1000= -9,化 简 得 asin10002011π2 +α +bcos2011π2 +β = -9-1000=-1009。 故f(2009)=asin1000 2009π 2 +α + bcos2009π2 +β +1000=asin1000 -π+􀭠􀭡 􀪁􀪁 2011π 2 +α +bcos -π+ 2011π2 +β + 1000= - asin10002011π2 +α + bcos2011π2 +β +1000=1009+1000= 2009。 评注:利用整体思想解决问题时,要把握 问题的全局,认清问题中相关元素的联系,从 整体上利用条件进行简化求解。 三、正难则反思想 例3 将函数f(x)=Acos(ωx+φ)+B 的图像上每一点的纵坐标伸长到原来的2 倍,将横坐标缩短到原来的1 3 ,再将整个图像 沿x 轴向左平移 π 2 个单位,沿y 轴向下平移 1个单位,可得函数y=2sinx 的图像,则原 来的函数f(x)= 。 分析:因为三角变换具有可逆性,所以从 结论反推,则简单易行。 解:将y=2sinx 的图像向上平移1个单 位,得到y=2sinx+1的图像;将y=2sinx +1的图像向右平移 π 2 个单位,得到 y= 2sinx- π 2 +1=-2cosx+1的图像;将 y=-2cosx+1的图像上所有点的横坐标伸 长到原来的3倍(纵坐标不变),得到y= -2cos x 3+1 的图像;将y=-2cos x 3+1 的 图像上各点的纵坐标缩短到原来的 1 2 ,得到 函数y=-cos x 3+1 的图像。所以函数 6 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 f(x)=-cos x 3+1 即为所求。 评注:利用正难则反的思想,反向思考问 题,使得问题顺利获解。 四、数形结合思想 例4 方程sin2x=sinx 在区间(0,2π) 内的解的个数是 。 分析:在同一坐标系内分别作出函数 y=sin2x 和y=sinx 的图像,由图像的交点 个数判断方程解的个数。 解:在(0,2π)内,作出函数y=sin2x 和 y=sinx 的图像,如图1所示。 图1 在(0,2π)内的交点个数就是方程解的个 数。因为两个图像共有3个交点,所以原方 程解的个数是3。 评注:方程f(x)=g(x)的实根个数就 是函数y=f(x)和函数y=g(x)的图像的 交点个数。 五、分类讨论思想 例5 已知an=n·cos nπ 2+ π 3 (n∈ N*),记Sn=a1+a2+…+an,求S2009 的值。 分析:解题的关键是发现cosnπ2+ π 3 以 4为周期的变化规律。 解:设 k∈N*。当 n=4k+1 时, cos4k+12 π+ π 3 =cosπ2+π3 =-sinπ3 =- 3 2 ;当 n=4k+2 时,cos4k+22 π+ π 3 =cosπ+π3 =-cosπ3=-12;当n= 4k+3 时,cos4k+32 π+ π 3 =cos 3π2+ π 3 =sinπ3= 32;当n=4k 时,cos4k2π+ π 3 =cosπ3=12。 所以S2009=a1+a2+…+a2009=(a1+ a5+…+a2009)+(a2+a