三角函数的解题好帮手——整体换元～万能公式的巧妙应用-《中学生数理化》高一数学2023年12月刊

■杨晓柯 整体换元就是把某个式子看成一个整 体,用一个变量去代替它,使非标准型问题标 准化,使复杂问题简单化。 一、求单调区间 例1 求函数y=sin -2x+ π 3 的单调 区间。 解:易得y=-sin2x- π 3 。令t=2x- π 3 ,当2kπ- π 2≤t≤2kπ+ π 2 ,k∈Z时,函数 y=sint单调递增,结合复合函数单调性得 2kπ- π 2≤2x- π 3≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,即当 kπ- π 12≤x≤kπ+ 5π 12 ,k∈Z时函数单调递增。 同理可得,2kπ+ π 2≤2x- π 3≤2kπ+ 3 2 ,k∈ Z,即当kπ+ 5π 12≤x≤kπ+ 11π 12 ,k∈Z时函数单 调递 减。故 此 函 数 的 减 区 间 为 kπ- π 12 , kπ+ 5π 12 ,k∈Z,增区间为 kπ+5π12,kπ+11π12 , k∈Z。 评注:函数y=f(x)与y=-f(x)的单 调区间正好相反。 二、求值 例2 求函数y=cos2x+sinx - π 4≤ x≤ π 4 的最大值与最小值。 解:令t=sinx,由- π 4≤x≤ π 4 ,可得 t∈ - 2 2 ,2 2 􀭠 􀭡 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 。原函数等价于函数g(t)= -t2+t+1=- -t+ 1 2 2 + 5 4 ,所以当t= 1 2 时,g(t)max= 5 4 ,当t=- 2 2 时,g(t)min= 1- 2 2 。故所求函数ymax= 5 4 ,ymin= 1- 2 2 。 评注:利用换元可将三角函数问题转化 成二次函数问题处理,但要注意换元后新元 的取值范围。 三、解不等式 例3 求函数y=lgsin2x+ 9-x2 的 定义域。 解:要使函数有意义需满足 sin2x>0, 9-x2≥0, 可 得 2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z, -3≤x≤3, 解 得-3≤x< - π 2 或0<x< π 2 。故 此 函 数 的 定 义 域 为 x -3≤x<- π 2 或0<x< π 2 。 评注:涉及三角函数的不等式问题,可借 助整体换元的方法,结合正弦函数y=sinx 的图像与性质求解。 四、综合应用 例4 已知函数 f(x)= 3sin2x+ 2cos2x+m 0≤x≤ π 2 。若函数f(x)有两 个零点x1 和x2,求m 的取值范围。 解:易得f(x)=2sin2x+ π 6 +1+m。 令z=2x+ π 6 ,由x∈ 0, π 2 得z=2x+ π 6∈ π 6 ,7π 6 。函数f(x)在x∈ 0,π2 上 有两个零点x1,x2 等价于方程2sinz=-1 -m 在z∈ π6 ,7π 6 上有两个解,即函数y= 2sinz 的图像与直线y=-1-m 在z∈ π 6 ,7π 6 上有两个交点(图略),所以1≤-1- m<2,解得-3<m≤-2,即m∈(-3,-2]。 评注:换元思维是解决数学问题的常用 思想与方法。 作者单位:河南省登封市教学研究室 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年12月 ■谢 吉 万能公式的主要功能是把正弦、余弦、正 切的单角形式统一用正切的半角形式来表 示,即sinα= 2tan α 2 1+tan2 α 2 ,cosα= 1-tan2 α 2 1+tan2 α 2 , tanα= 2tan α 2 1-tan2 α 2 。万能公式在三角函数求 值问题中有着广泛的应用。不论角α是哪一 种三角函数,都可以表示成tan α 2 的“有理 式”,这样可以把问题转化为以tan α 2 为变量 的函数,从而有利于问题的解决。 一、三角函数的求值 利用万能公式,构建半角α 2 与角α 之间 的关系,把已知条件与要求的三角函数联系 起来,达到快捷巧妙求值的目的。 例1 已知α,β∈[0,π),tan α 2= 2 3 , cos(α+β)= 5 13 ,求cosβ的值。 分析:利用万能公式求出cosα 与sinα 的值,再求cosβ的值。 解:因 为 tan α 2 = 2 3 ,所 以 cosα= 1-tan2 α 2 1+tan2 α 2 = 5 13 ,sinα= 2tan α 2 1+tan2 α 2 = 12 13 ,所 以tanα= sinα cosα= 12 5>1 。因为α∈[0,π),所 以α∈ π4 ,π 2 。因为β∈[0,π),所以α+ β∈ π 4 ,3π 2 。由cos(α+β)=513,可得α+ β∈ π 4 ,π 2 ,所 以 sin (α + β) = 1-cos2(α+β)= 12 13 ,所以c