专题03 分式与二次根式（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点帮（上海专用）

专题03分式与二次根式核心知识点精讲 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 考点1：分式的有关概念及性质 1． 分式　　 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义. 2.分式的基本性质 　（M为不等于零的整式）. 3． 最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． （4）分式有无意义的条件：在分式中， 　　 ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． 　　 ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．　　　　 ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点2：分式的运算 1．基本运算法则　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: 　（1）加减运算±= 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. 　； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 　（4）乘方运算（分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数. 3．负整数指数 　 4．分式的混合运算顺序　 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分　 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 6．通分　　根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 考点3：分式方程及其应用 1．分式方程的概念　　分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法　　解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题　　验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 考点4：二次根式的主要性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 考点5：二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 【题型1：分式的有关概念及性质】 【典例1】（1）下列各式，，，，，，属于分式的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 （2）若分式的值不存在，则x的值为（    ） A． B． C．2 D．1 1．代数式，，，，，，中，属于分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．对于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式的值为0 B．当时，分式无意义 C．时，分式的值为 D．当时，分式的值为正数 3．若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A．x为任意数 B． C． D． 4．若使分式的值为负数，则可以取的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2：分式的运算】 【典例2】计算的结果是（  ） A．﹣y B． C． D． 1．化简：（    ） A．1 B． C． D． 2．计算的结果是（