微专题24：圆锥曲线定值问题专项训练-2024届高三数学一轮复习

微专题24 定值问题 一、基本技能练 1.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左、右顶点分别为A1，A2，点P是椭圆C上异于左、右顶点的任意一点，证明：点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值. 2.已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N两点，抛物线C与圆O交于M′，N′两点，且|MN|＝|M′N′|. (1)求抛物线C的标准方程； (2)动点G在抛物线C的准线上，直线AB与抛物线C交于A，B两点，直线A′B′与抛物线C交于A′，B′两点，直线AB与A′B′的交点为G，且|GA|·|GB|＝2|GA′|·|GB′|.设直线AB，A′B′的斜率分别为k1，k2，证明：－为定值. 3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：＋为定值. 4. (2020·新高考Ⅰ卷改编)已知椭圆C：＋＝1，点M，N在C上，点A(2，1)且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足，证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 5. 已知抛物线C：x2＝4y，设点M(1，1)，过点M作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足|MA|·|MB|＝|MD|·|ME|，求证：kAB＋kDE为定值. 6. (2023·赣州模拟改编)若A，B是C：y2＝8x上异于点O的两个动点，当∠AOB＝90°时，过点O作ON⊥AB于N，问平面内是否存在一个定点Q，使得|NQ|为定值？若存在，请求出定点Q及该定值；若不存在，请说明理由. 7 (2023·临沂模拟改编)已知椭圆C：＋＝1，若点A，B，D，E在C上，且＝2，AD与BE交于点P，点P在椭圆＋＝1上，证明：△PAB的面积为定值. 8. 已知抛物线C：y2＝4x，点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N，设O为坐标原点，＝λ，＝μ， 求证：＋为定值. 二、创新拓展练 9.(2023·宁波调研)如图，已知双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足|PF1|＋|PF2|＝8，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA，PB，与渐近线的交点分别是A和B. (1)求四边形OAPB的面积； (2)若对于一般的双曲线C′：－＝1(a>0，b>0)，点P′为双曲线C′上任意一点，过点P′分别作双曲线C′两条渐近线的平行线P′A′，P′B′，与渐近线的交点分别是A′和B′.请问四边形OA′P′B′的面积是否为定值，若是定值，求出该定值(用a，b表示该定值)；若不是定值，请说明理由. 参考答案 1.证明　设P(x0，y0)，则＋＝1， 所以y＝， 所以kPA1＝，kPA2＝(x0≠±a)， 所以kPA1·kPA2＝·＝ ＝＝－， 又因为e＝＝，a2＝b2＋c2， 所以＝，所以－＝－， 所以点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值－. 2.(1)解　由对称性可知，M′N′⊥x轴， 所以MN∥M′N′， 根据题意，设|MN|＝|M′N′|＝a， 则点O到MN的距离与点O到M′N′的距离相等， 所以直线M′N′过抛物线C的焦点， 设M′，由 得p＝2或p＝－2(舍去). 所以抛物线C的标准方程为y2＝4x. (2)证明　根据题意及(1)， 设G(－1，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 直线AB的方程为y＝k1x＋m1， 则t＝－k1＋m1. 将y＝k1x＋m1代入y2＝4x， 得kx2＋(2k1m1－4)x＋m＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|GA|·|GB|＝(x1＋1)·[(x2＋1)]＝(1＋k)(x1x2＋x1＋x2＋1)＝(1＋k)＝(t2＋4). 设直线A′B′的方程为y＝k2x＋m2， 则t＝－k2＋m2， 同理可得|GA′|·|GB′|＝(t2＋4). 因为|GA|·|GB|＝2|GA′|·|GB′|， 所以(t2＋4)＝2(t2＋4)， 即1＋＝2＋，所以－＝1为定值. 3.(1)解　由题意得△PF1F2内切圆半径r的最大值为，设|F1F2|＝2c， 则 ∴ ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明　设P(x0，y0)，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 当y0≠0时，设直线PF1，PF2的方程分别是x＝m1y－1，x＝m2y＋1. 联立消去x并整理得 (3m＋4)y2－6m1y－9＝0， ∴y0y1＝－. ∵x0＝m1y0－1， ∴m1＝，又＋＝1， ∴＝－. 联立 同理可得＝－， ∴＋＝－－＝； 当y0＝0时，直线PF1，PF