广东省六校（清中、河中、北中、惠中、阳中、茂中）2023-2024学年高三12月摸底考试数学试题

2024届高三级12月“六校”（清中、河中、北中、惠中、阳中、茂中） 联合摸底考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在上的值域为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 杨辉是我国南宋末年一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵，称做“开方做法本源”，这就是著名的“杨辉三角”，它比西方的“帕斯卡三角形”早了年．在“杨辉三角”中，从第行开始，除以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示．某行中只有一项最大，且为，该行是第（ ）行 A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和，则“”是“是等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正数a，b，c满足，下列说法正确是（ ） A. B. C. D. 8. 过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为H，点为坐标原点，若，又直线与双曲线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 下列命题中是真命题有（ ） A. 有，，三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为30 B. 一组数据1，2，3，3，4，5平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5 10. 如图，在正方体中，M，N，P，Q分别是线段，，，BC的中点，给出下面四个结论：其中正确的序号为（ ） A. 平面APC B. 平面 C. A，P，M三点共线 D. 平面平面ABCD 11. 已知是自然对数的底数，函数的定义域为，是的导函数，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知圆，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（ ） A. 若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 B. 若直线l与圆C交于A，B两点，且的面积为2，则直线l的方程为或 C. 若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当面积最大时，直线的斜率为1或 D. 若Q是x轴上的动点，，分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知实数，满足，则的最大值为_____________. 14. 设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________． 15. 若函数是定义在上的奇函数，且对任意恒成立，则的取值范围为__________． 16. 如图所示，在三棱锥S-ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1正三角形，二面角A-BC-S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为___________. 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 18. 已知正项数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 19. 如图，已知四棱锥中，底面是矩形，，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 20. 食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响． （1）求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； （2）如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列． 21. 已知椭圆经过点，椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于、），且． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为直线上的