2024届高三数学复习微专题23：定点、定线问题

微专题23 定点、定线问题 一、基本技能练 1.已知双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，P(3，)是C上一点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记C的右顶点为M，与x轴平行的直线l与C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆过点M. 2.(2023·重庆调研)设直线AF1与双曲线E：x2－＝1左支交于点B，右支交于点A，双曲线E的右顶点为D(a，0)，直线AD，BD分别与圆C：x2＋y2＝1相交，交点分别为异于点D的点P，Q.判断弦PQ是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，说明理由. 3.已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为，M为椭圆C上一动点，△FAM面积的最大值为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点M的直线l：y＝kx＋1与椭圆C的另一个交点为N，P为线段MN的中点，射线OP(O为坐标原点)与椭圆交于点D，点Q为直线OP上一点，且·＝ 2，求证：点Q在定直线上. 4. (2023·全国乙卷改编)已知椭圆C：＋＝1，点A(－2，0).过点 (－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点. 5. 已知抛物线C：y2＝8x，O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且·＝－16，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标. 6. (2023·襄阳调研改编)已知椭圆C：＋y2＝1，椭圆C的上顶点为A，过点的直线l与椭圆C交于两个不同的点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N.证明：以MN为直径的圆过y轴上的定点. 7.已知曲线C：＋＝1的左、右顶点分别为A，B，斜率不为0的直线l与C交于M，N两点，若直线BM的斜率是直线AN斜率的两倍，证明：直线l经过定点，并求出定点的坐标. 8. (2023·新高考Ⅱ卷改编)已知双曲线C：－＝1.记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上. 9.已知双曲线C：x2－＝1，设A1，A2是C的左、右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线A1M与A2N的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由. 10. (2023·赣州二模节选)已知椭圆C：＋＝1，过点P(1，2)的直线l交C于A，B两点时，在线段AB上取点M，满足|AP|·|MB|＝|AM|·|PB|，证明：点M总在某定直线上. 二、创新拓展练 11.(2023·北京朝阳区模拟)已知椭圆E：＋＝1(0<n<4)经过点(，1). (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)设椭圆E的左顶点为A，直线l：x＝my＋1与E相交于M，N两点，直线AM与直线x＝4相交于点Q.问：直线NQ是否经过x轴上的定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，说明理由. 参考答案 1.(1)解　由题意可设双曲线C的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)， 由已知得a2＋b2＝6，且－＝1， 解得a2＝b2＝3. 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)证明　设直线l的方程为y＝m，m≠0， 将其与－＝1联立， 解得x＝或x＝－. 不妨设A(－，m)，B(，m)， 由(1)知M(，0)， 则·＝(＋，－m)·(－，－m)＝(＋)(－)＋m2＝3－(m2＋3)＋m2＝0， 所以⊥，故以AB为直径的圆过点M. 2.解　弦PQ过定点(0，0)，理由如下： ∵c＝＝2，∴F1(－2，0). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF1：x＝my－2. 联立得 得(3m2－1)y2－12my＋9＝0， 则3m2－1≠0，Δ>0， y1＋y2＝，y1·y2＝. ∵kPD·kQD＝kDA·kDB＝· ＝ ＝ ＝＝－1， ∴PD⊥QD，又点D在圆C上， ∴PQ为圆C的直径，∴PQ一定过圆C的圆心，即弦PQ过定点(0，0). 3.(1)解　设椭圆C的半焦距为c，则|FA|＝a＋c. 由椭圆的性质知，当点M位于椭圆C的短轴端点时，△FAM的面积取得最大值，此时S△FAM＝(a＋c)b， ∴(a＋c)b＝，∴(a＋c)b＝3. 由离心率e＝＝得a＝2c，又a2＝b2＋c2， ∴b＝c，∴c＝1，a＝2，b＝， ∴椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2). 由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0. ∵直线l过定点(0，1)，定点(0，1)在椭圆C的内部， ∴Δ>0，x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝－＋2＝，∴点P的坐标为. 当直线l的斜率k≠0时，直线OP的斜率为－， ∴直线OP的方程为y＝－x，即x＝－y. 设D(xD，yD)，将直线OP的方