作图识图用图讲义-2024届高三数学二轮专题复习

难点突破八 识图、作图、用图 函数图象的应用是高考的重中之重， 较好认识图象、作出图象、利用图象， 是我们学好 高中数学的必要条件，这也是数形结合思想的根本所在. 1 ．函数图象的作法 （1） 描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往 往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象. （2） 图象变换法作图： 一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数 图象， 在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换) . 2 ．函数图象间的变换 （1）平移变换 （3）伸缩变换 纵坐标不变 y＝f(x)―――――――――――――― 1――――――→y＝f(ax) . 各点横坐标变为原来的 （a＞0）倍 a 横坐标不变 y＝f(x)――――――――――――――――――――――→y＝Af(x) . 各点纵坐标变为原来的A（A＞0）倍 对于平移， 往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减， 上加下减. （2） 对称变换 解析（1）法一：画出y＝f(x)的图象，再作其关于y 轴对称的图象， 得到y＝f(－x)的图象， 再将所得图象向右平移 1 个单位， 得到y＝f[－(x－1)]＝f(－x＋1)的图象. 法二：可取特殊点 （2）法一 函数y ＝ 的图象过点(e ，1) ，排除 C ，D； 函数y ＝ 的图象过 点(－e ，－ 1)，排除 A. 法二 由已知， 设f(x) ＝ ，则f(－x) ＝－f(x) ，故函数f(x)为奇函数， 排除 A， C ，当 x＞0 时，f(x) ＝ln x 在(0 ，+∞)上为增函数， 排除 D. 答案（1）C （2）B 点睛 函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； 从函数的值域， 判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性， 判断图象的变化趋势； （3）从函数的奇偶性， 判断图象的对称性； （4）从函数的特征点， 排除不合要求的 图象．利用上述方法排除、筛选选项. 例 2.（1） 若曲线|y| ＝2x＋1 与直线y ＝b 没有公共点，则 b 的取值范围是 . 规律： 常见的几种函数图象如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂 函数、指数函数、对数函数、正余弦函数、正切函数、形如y ＝x ＋ (m＞0)、 y ＝x ＋ (m<0)的函数是图象变换的基础. (|3x （x≤1）， 例 1.（1）函数f(x) ＝〈 x （x＞1）， 则y＝f(1－x)的图象是 ( ) 的图象可能是 ( ) （2）函数y = （2） 已知函数f(x) ＝－x2＋2ex＋m－1 ，g(x) ＝x ＋ (x＞0) ．若方程 g(x)－f(x) ＝0 有两 个相异实根，则实数 m 的取值范围是 . 解析（1） 曲线|y| ＝2x＋1 与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可知： 如果|y| ＝2x＋1 与直线y ＝b 没有公共点， 则 b 应满足的条件 是 b∈[－1 ，1] . （2） 若 g(x)－f(x) ＝0 有两个相异实根， 即y ＝g(x)与y＝f(x)的 图象有两个不同的交点， 在同一坐标系中， 作出 g(x) ＝x ＋ (x＞0)与f(x) ＝－x2＋2ex＋m－1 的大致图象如图 ∵f(x) ＝－x2＋2ex＋m－1 ＝－(x －e)2 ＋m－1＋e2. ∴其图象的对称轴为 x ＝e ，开口向下，最大值为 m－1＋e2. 故当 m－1＋e2＞2e ，即 m＞－e2＋2e＋1 时， y ＝g(x)与y＝f(x)有两 个交点，即 g(x)－f(x) ＝0 有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(－e2＋2e＋1 ，+∞) . 答案（1） [－1 ，1] （2）(－e2＋2e＋1 ，+∞) 点睛 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围， 若方程可解，通过解方程即可得出 参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数， 利用两个函数 图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. (x2 +x + a, (x < 0) a 的取值范围是 ( ) A ． (-2, -1) B ．(1, 2) C ． (-1, +伪) D ．(-ln 2, +伪) （2） 已知函数f(x) = x2 - 4x ，若关于x 的方程f(x) +f(a -x) -t = 0 有四个不同的实 数根，