内容正文:
点评:借助统计概率的应用场景,特别是
通过统计概率中相应变量的关系式的构建,
该类试题结合实际应用场景,会出现一些高
次函数或复杂函数的表达式,由此合理利用
函数知识、导数及其应用,通过函数与导数的
应用来解决最值问题。
涉及统计概率的实际综合问题,往往基
于统计与概率的应用场景,融入函数或数列
基础知识,综合性与应用性较高。其本质仍
是以统计概率的基础知识为主导,结合数列
的概念、公式与性质,以及函数与导数的应用
等交汇的“外壳”加以综合应用或辅助求解,
进一步加强并提升数学各方面的能力,培养
数学核心素养。 (责任编辑 王福华)
正态分布问题的着眼视角
■江苏省苏州市陆慕高级中学 王明龙
正态分布在生产生活中的应用非常广
泛,也是高考的一个基本考点之一,也为新高
考数学试卷的命题提供了更加新颖的背景,
注入了更加灵动的活力。现实生活中的分布
问题往往都可以借助正态分布来描述或应
用,自然受到高考命题者的青睐。而解决正
态分布问题,主要从“形”、“数”,以及“数”与
“形”结合等几个着眼视角来切入与应用。
一、“形”的着眼视角
1.同一正态分布
对于同一正态分布而言,一般借助正态
曲线图像的对称性,涉及条件中所给定区间
内的取值概率与结论中另一区间内的取值概
率问题,可以通过正态曲线“形”的视角去直
观分析与处理。
例 1 已知随机变量X 服从正态分布
N(2,σ2),若P(X≤1-2a)+P(X≤1+a)
=1,则a=( )。
A.0 B.2 C.-1 D.-2
解析:依题意有P(X≤1-2a)+P(X≤
1+a)=1,而利用正态分布的性质有P(X≤
1-2a)+P(X≥1-2a)=1,所以 P(X≥
1-2a)=P(X≤1+a)。结合正态曲线图像
的对称性,可知x=1-2a 与x=1+a 关于
直线x=2对称,所以1-2a+1+a=2×2,
解得a=-2。故选D。
点评:利用正态曲线图像的对称性研究
对应的概率及综合问题,涉及的知识主要是
正态曲线关于直线x=μ 对称,以及正态曲
线与x 轴之间的面积为1;同时还要注意活
用下面两个结论:(1)P(X<a)=1-P(X≥
a);(2)P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ)。
2.不同正态分布
对于不同正态分布而言,不同正态曲线
图像的对称轴的值表示样本均值u,而样本
标准差σ表示正态曲线的峰值(峰值与σ成
反比关系),抓住不同正态曲线的图形直观,
从“形”的视角去比较与分析。
例 2 甲、乙两类水果的质量(单位:
kg)分别服从正态分布 X~N(u1,σ21),Y
~
图1
N(u2,σ22),其相应的分布密
度曲线如图1所示,则下列
说法正确的是( )。
A.甲类水果的平均质
量比乙类水果的平均质量大
B.乙类水果的质量比甲类水果的质量更
集中于均值左右
C.水果的质量服从的正态分布的参数
σ1>σ2
D.甲类水果的平均质量u1=0.4(kg)
解析:由图中两个相应的分布密度曲线
可知,甲类水果的平均质量为u1=0.4(kg),
则选项D正确;乙类水果的平均质量为u2=
0.8(kg),故甲类水果的平均质量比乙类水果
的平均质量小,则选项 A错误;又甲曲线比
乙曲线更“高瘦”,故σ1<σ2,则知甲类水果的
质量比乙类水果的质量更集中于均值左右,
则选项B,C错误。故选D。
点评:熟 练 理 解 并 掌 握 正 态 分 布 X~
N(μ,σ2)所对应的正态曲线图像的性质与结
构特征:正态分布曲线是一条关于直线x=μ
对称,且在x=μ 处取得最大值,即 达 到 峰
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解题篇 创新题追根溯源
高考数学 2023年12月
值;对于μ 取定值时,σ 越大,曲线的最高点
越底且弯曲较平缓;反过来,σ 越小,曲线的
最高点越高且弯曲较陡峭。
二、“数”的着眼视角
对于非标准正态分布而言,往往需要将一
般正态分布问题转化为相应的标准正态分布
问题,利用“3σ原则”等相关公式,通过正态分
布的“数”视角进行代数运算与分析处理。
例 3 已知随机变量X 服从正态分布
N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,则P(X
>2.5)= 。
解析:由正态分布 X~N(2,σ2)可知,
P(X<2)=P(X>2)=0.5,故P(X>2.5)
=P(X>2)-P(2<X≤2.5)=0.5-0.36
=0.14。故填0.14。
点评:在同一正态分布所对应的正态曲
线背景下,正确构建相关区间的概率之间的
加、减、倍数等关系,可以为进一步的数学运
算与概率