相关关系的判断及应用-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■安徽省濉溪中学 刘 伟 变量间的相关关系是区别于变量间的函 数关系的一个特殊概念,是通过收集大量的 数据,在对数据进行统计分析的基础上,发现 变量间有关系,但又没有确切到可由其中的 一个变量精确地决定另一个变量的程度,形 成一种特殊的相关关系。在判断与解决一些 变量的相关关系及其综合应用问题时,有一 定的判断方法与技巧策略。 一、散点图法 如果样本点的分布从整体上看大致在某 一曲线附近,变量之间就有相关关系;如果样 本点的分布从整体上看大致在某一直线附 近,变量之间就有线性相关关系。特别地,在 散点图中,当一个变量的值增加时,另一个变 量的值也呈现增加(或减小)的趋势,则这两 个变量就是正(或负)相关。 例 1 相关变量x,y 的散点图如图1 所示,现对这两个变量进行线性相关分析。 方案一:根据图中所有数据,得到回归直线方 程y=b1x+a1,相关系数为r1;方案二:剔除 点(10,32),根据剩下的数据得到回归直线方 程y=b2x+a2,相关系数为r2。则下列结论 图1 正确的是( )。 A.0<r1<r2<1 B.0<r2<r1<1 C.-1<r1<r2<0 D.-1<r2<r1<0 解析:由于散点图呈左上角到右下角的 带状分布,可知这两个变量为负相关,所以 r1<0,r2<0;而剔除点(10,32)后,剩下点的 数据更具有线性相关性,此时|r2|更接近1, 所以有-1<r2<r1<0。故选D。 点评:熟练利用散点图的分布规律及基 本性质是解题的关键所在。利用散点图可以 正确判断两个变量是否相关,相关时是正相 关还是负相关。熟练掌握样本相关系数的基 本性质也是解决此类问题的基本要求。 二、样本相关系数 样本相关系数r的正负取值对应其是正 相关或负相关,即当r>0时,正相关;当r< 0时,负相关;当|r|越接近1(或0)时,成对样 本数据的线性相关程度越强(或弱)。同时, 样本相关系数r与变量间的散点图也存在对 图2 应关系。 例 2 调查某种花萼长度 和花瓣长度,所得数据如图2所 示,其中相关系数r=0.824 5,下 列说法正确的是( )。 A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈现负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈现正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的 相关系数一定是0.824 5 解析:由于相关系数r=0.824 5>0.75, 且散点图呈左下角到右上角的带状分布,所 以花瓣长度和花萼长度呈现正相关,而若从 样本中抽取一部分,则这部分的相关系数不 一定是0.824 5。故选C。 点评:以实际应用场景来创设问题,结合 统计中的散点图及线性相关的基础知识,通 过样本相关系数r 的值、散点图中样本点的 分布规律及其对应的基本性质来考查与应 用,对具体问题加以分析与判断,实现应用问 题的解决与数据处理。 三、经验回归方程 对于一元线性经验回归方程ŷ=̂bx+̂a, 其中当b̂>0时,相关变量x,y 之间的关系 是正相关;当b̂<0时,相关变量x,y 之间的 关系是负相关。经常也借助经验回归方程来 解决一些实际应用问题。 例 3 为了帮助乡村脱贫,某勘探队计 划了解当地矿脉某金属的分布情况,测得了 81 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月 平均金属含量y(单位:g/m3)与样本对原点 的距离x(单位:m)的数据,并作了初步处 理,得到表1中的一些统计量的值。表1中 的ui = 1 xi ,􀭵u= 1 9∑ 9 i=1 ui。 表1 􀭺x 6 􀭵y 97.90 􀭵u 0.21 ∑ 9 i=1 (xi-􀭺x) 2 60 ∑ 9 i=1 (ui-􀭵u) 2 0.14 ∑ 9 i=1 (yi-􀭵y) 2 14.12 ∑ 9 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) 26.13 ∑ 9 i=1 (ui-􀭵u)(yi-􀭵y) -1.40 (1)利用样本相关系数的知识,判断y= a+bx 与y=c+ d x 哪一个更适宜作为平均 金属含量y 关于样本对原点的距离x 的经验 回归方程类型? (2)根据(1)的结果回答下列问题: ①建立y 关于x 的经验回归方程; ②当样本对原点的距离x=20时,金属 含量的预报值是多少? ③已知该金属在距离原点x m 时的平 均开采成本W(单位:元)与x,y 的关系为W =1 000(y-ln x)(1≤x≤100),根据①的结 果回答,当x 为何值时,开采成本最大? 附 参 考 公 式: 样 本 相 关 系 数 r = ∑ n i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y) ∑ n i=1 (xi -􀭺x)∑ n i=1 (yi -􀭵y)2 ;经验回归方程 ŷ=