特殊思维巧赋值，妙解二项式定理-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■江苏省扬州市邗江区第一中学 陈 力 赋值法普遍适用于恒等式问题,是解决数 学问题的一种重要方法。赋值法是通过给恒 等式中的变量赋予恰当的数值或代数式后,借 助数学运算与逻辑推理,最后得出结论的一种 解题方法。而对于二项式定理问题,赋值法也 是解决问题的一种基本技巧策略,经常要对二 项式定理中的相关字母进行特殊赋值处理,从 而得以求解相应的二项式定理及其综合问题。 下面举例说明赋值法在解决二项式定理问题 中的具体应用,供同学们复习时参考。 一、参数值的求解 例 1 若(x+2+m)2 023=a0+a1(x+ 1)+a2(x+1)2+…+a2 023(x+1)2 023,且(a0 +a2+…+a2 022)2-(a1+a3+…+a2 023)2= 32 023,则实数m 的值为 。 解析:令x+1=1,即x=0,可得(2+ m)2 023=a0+a1+a2+…+a2 023; 令x+1=-1,即x=-2,可得m2 023= a0-a1+a2-a3+…+a2 022-a2 023。 又因为(a0+a2+…+a2 022)2-(a1+ a3+…+a2 023)2=(a0+a1+a2+…+a2 023) (a0-a1+a2-a3+…+a2 022-a2 023)=32 023, 所以(2+m)2 023·m2 023=32 023,即m(2+m) =3,解得m=-3或m=1。 故填-3或1。 点评:在解决含参的二项式定理问题时, 利用二项关系式的特征把相应各展开式中含 有幂运算的关系式整体转化为1或-1来进 行特殊赋值处理,进而利用二项式定理来构 建对应的方程或关系式,合理结合条件加以 转化与应用,从而优化过程,简化运算。 二、部分系数和的求解 例 2 若(2x-1)4=a4x4+a3x3+ a2x2+a1x+a0,则a0+a2+a4=( )。 A.40 B.41 C.-40 D.-41 解析:令x=1,可得14=1=a4+a3+ a2+a1+a0; 令x=-1,可得(-3)4=81=a4-a3+ a2-a1+a0。 以上两式对应相加,则有2(a4+a2+a0) =82,解得a4+a2+a0=41。 故选B。 点评:在解决一些二项展开式中奇数项 之和、偶数项之和等问题时,结合奇偶项系数 的特征加以特殊赋值处理,通过1与-1的 赋值来建立对应的方程,利用对应的关系式 的结构特征进行相加、相减或因式分解等运 算加以变换与应用,实现部分系数和的求值。 三、各项系数和的求解 例 3 在 x2-3x n 的展开式中,二项 式系数的和是16,则展开式中各项系数的和 为( )。 A.16 B.32 C.1 D.-32 解析:因为二项式系数的和是16,所以 得2n=16,解得n=4。 令x=1,可得展开式中各项系数的和为 (-2)4=16。 故选A。 点评:涉及二项展开式中各二项式系数 和的问题,往往通过二项式定理,借助变量的 特殊赋值来处理(一般是变量为1,或整个涉 及变量的关系式为1等)。解决问题时,要结 合二项展开式的含参情况及关系式的结构特 征,加以合理赋值与应用。 四、组合数的求解 例 4 已知在(2x-1)n 的二项展开式 中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38, 则C1n+C2n+C3n+…+Cnn 的值为( )。 A.28 B.28-1 C.27 D.27-1 解析:依题可设(2x-1)n=a0+a1x+ 41 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月 a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶 次项的系数和为B。 则有A=a1+a3+a5+a7+…; B=a0+a2+a4+a6+…。 由已知可得B-A=38。 令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+…+ an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…) -(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,亦即B -A=(-3)n。 所以(-3)n=38=(-3)8,解得n=8。 由二项式系数的性质可得C1n+C2n+C3n +…+Cnn=2n-C0n=28-1。 故选B。 点评:涉及组合数的代数式的化简或求 解问题,往往离不开二项式系数的基本性质 及应用。在具体的解题过程中,要注意对二 项式系数的基本性质的熟练掌握,以及借助 二项式定理加以赋值处理的技巧与策略。 五、恒等式的证明 例 5 (教材习题———选择性必修第三 册第35页习题6.3拓广探索栏目第10题) 求证:2n -C1n ×2n-1 +C2n ×2n-2 + … + (-1)n-1Cn-1n ×2+(-1)n =1。 证明:构造二项展开式(a+b)n=C0nan+ C1n