数列巧交汇，函数妙融合-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■江苏省扬州市江都区邵伯高级中学 张秀跃 在新课标高考数学试卷中,涉及统计概率 的综合应用问题经常与其他相关知识加以必 要的“串联”,相对吻合高考“在知识交汇点处 命题”的指导精神,实现知识在交汇融合的基 础上又加以实际应用场景的创设,对于同学们 各方面的能力,以及创新应用与创新意识的考 查有很好的作用。特别地,在统计概率的综合 应用问题中,以数列中的递推形式来创设统计 概率模型是比较常见的一种应用场景,而借助 函数的基础知识来确定一些相关的统计概率 中的最值或取值范围问题也是比较常用的一 种应用方法,需要引起同学们的高度重视。 一、统计概率与数列的综合 新高考数学试卷经常将统计、概率等问 题与数列的基础知识交汇在一起进行考查。 因此,在解答此类题时,准确地把题中所涉及 的事件进行分解,利用数列的定义、特殊数列 的类型及对应的公式等,结合统计与概率等 知识加以应用,注意明确所求问题所属的事 件类型是解题关键。 例 1 某运动员多次对目标进行射击, 他第一次射击击中目标的概率为 3 5 。由于受心 理因素的影响,每次击中目标的概率会受前一 次是否击中目标影响而改变,若前一次击中目 标,则下一次击中目标的概率为3 4 ;若前一次未 击中目标,则下一次击中目标的概率为1 2 。 (1)记该运动员第n 次击中目标的概率 为Pn,证明:Pn- 2 3 为等比数列,并求出 {Pn}的通项公式; (2)若该运动员每击中一次得2分,未击 中不得分,总共射击2次,求他的总得分 X 的分布列与数学期望。 解析:(1)由题意知,当n∈N*时,Pn+1= Pn× 3 4+ (1-Pn)× 1 2= 1 2+ 1 4Pn ,整理得 Pn+1- 2 3= 1 4 Pn- 2 3 。又P1-23=35- 2 3=- 1 15 ,所以 Pn- 2 3 是首项为-115,公 比为 1 4 的 等 比 数 列。所 以 Pn - 2 3 = - 1 15 × 14 n-1 ,即Pn=- 1 15× 1 4 n-1 + 2 3 。 (2)记Ai 为第i次射击击中目标,则由 题意可得 P(A1)= 3 5 ,P(A2|A1)= 3 4 , P(A2|A1)= 1 2 ,X 的可能取值为0,2,4,且 P(X=0)=P(A1·A2)=P(A2|A1)· P(A1)= 1 2× 2 5= 1 5 ,P(X=2)=P(A1A2) +P (A1|A1)=P (A2A2)P (A1)+ P(A2|A1)P(A1)= 1 2× 2 5+ 1 4× 3 5= 7 20 , P(X=4)=P(A1A2)=P(A2|A1)P(A1)= 3 4× 3 5= 9 20 。 则X 的分布列为表1。 表1 X 0 2 4 P 15 7 20 9 20 故E(X)=0× 1 5+2× 7 20+4× 9 20= 5 2 。 点评:借助统计概率的实际应用场景,结 合数列中的递推关系的合理构建与应用,巧 妙地实现统计概率与数列等相关知识点之间 的交汇与融合。此类问题经常利用实际应用 02 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月 背景,通过数列的概念、公式与性质等来应 用,进而借助问题的巧妙设置,合理反馈统计 概率的实际应用。 二、统计概率与函数的综合 在统计概率的综合应用问题中,基于统 计与概率中的相关公式等合理构建对应的函 数关系式,进而利用函数的图像与性质、导数 及其应用,以及不等式等相关知识来解决对 应的函数问题,实现合理的决策与应用。 例 2 我国近几年着重强调可持续发 展,大力发展新能源项目,特别是积极推动新能 源汽车产业发展。表2是某汽车制造企业对某 地区新能源汽车的销售情况的调查统计表: 表2 年份t 20182019202020212022 年份代码x(x=t-2017) 1 2 3 4 5 销量y/万辆 10 12 17 20 26 (1)基于以上数据,试确定y 关于x 的经 验回归方程,并预测该地区新能源汽车的销 量最早在哪一年能突破50万辆。 (2)为了解购车车主的性别与购车种类 (分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况,该 企业随机调查了该地区200名购车车主的购 车情况作为样本,其中男性车主中购置传统燃 油汽车的有w 名,购置新能源汽车的有45名, 女性车主中有20名购置传统燃油汽车。 ①若w=95,将样本中购置新能源汽车 的性别占比作为概率,以样本估计总体,试用 (1)中的经验回归方程预测该地区2024年购 置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位 车主只购买一辆汽车,结果精确到千人); ②设男性车主中购置新能源汽车的概率 为p,若将样本中的频率视为概率,从被调查 的所有男性车主中随机抽取5人,