巧借模的性质，妙解复数问题-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■江苏省黄埭中学 浦振国 复数的模自身有代数的基本属性,又有 几何的结构特征,也是“数”与“形”巧妙融合 的一个重要数学模型。借助复数的模的基本 性质来处理一些相关的复数问题,对于复数 的解题与应用有很大的裨益,可以充分体现 复数的模的“双重”特征,开拓数学解题思维, 优化解题过程,提升解题效益。 一、模的求值 涉及复数的模的求解,往往离不开复数 的四则运算,以及复数的模的概念与公式等。 而借助复数模的基本性质,有时可以直接求 值或优化求解,减少一些复杂的复数四则运 算,能很好地提升解题效益。 例 1 若复数z 满足i·z=3-4i,则 |z|等于( )。 A.1 B.5 C.7 D.25 解法一:(运算法1)依题可得z= 3-4i i = (3-4i)i i2 = - 4- 3i,所 以 |z| = (-4)2+(-3)2=5。 故选B。 解法二:(运算法2)依题可得i2·z= (3-4i)i,所 以 z= -4-3i,则|z|= (-4)2+(-3)2=5。故选B。 解法三:(性质法)依题可得z= 3-4i i ,所以 |z|= 3-4ii = |3-4i| |i| = 32+(-4)2 1 =5 。 故选B。 点评:涉及一些简单的复数的模的求值 问题,不同思维视角的求解过程和数学运算 量往往差别不大。合理利用复数的模的基本 性质,可以很大程度上优化与之相关的逻辑 推理与数学运算,使得解题更加简捷快速。 二、参数的取值 涉及复数的模的相关参数的取值范围问 题,经常借助复数的模的条件,可以从代数思 维与几何思维这两个不同思维视角加以切 入,或通过代数运算确定不等式,或通过数形 结合从直观上处理,这些都离不开模的本质, 各有千秋,殊途同归。 例 2 (2022—2023学年上海交通大 学附属中学高二(上)假期检测数学试卷)已 知复数z=3-ai(a∈R,i为虚数单位),且满 足|􀭵z-2|<2,则实数a的取值范围是 。 解析:由复数z=3-ai,可得􀭵z=3+ai, 则|􀭵z-2|<2等价于|1+ai|<2,其表示的 是复数1+ai在复平面内对应的点Z 在以原 点为圆心,2为半径的圆内(不包括边界)。 图1 因为复数1+ai对应的 点在直线x=1上,所以线段 AB(除去端点)为动点Z 的 集合,如图1所示,由图可得 - 3<a< 3。 所以实数a 的取值范围 是(- 3,3)。 故填(- 3,3)。 点评:在处理与复数的模相关的参数的 取值范围及其综合问题时,合理借助复数自 身“数”的基本属性,凸现与复数相关的“形” 的结构特征,在实际解决问题时往往有奇效, 可以更加直观形象地挖掘与复数的模有关的 几何内涵,给问题的分析与解决提供更加宽 广的视角。 三、模最值的确定 涉及复数的模、运算式的模等的最值确 定及综合问题,经常借助复数模的几何特 征———圆的轨迹,化“数”为“形”,结合复数模 的基本性质来转化与应用,实现与之相关的 模的最值的确定。 21 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月 例 3 设复数z满足条件|z|=1,那么 |z+22+i|的最大值是( )。 A.3 B.23 C.1+22 D.4 解析:依题知|z|=1表示单位圆上的 点,那么|z+22+i|表示单位圆上的点到点 (-22,-1)的距离。 所以求|z+22+i|的最大值可以转化 为求点(-22,-1)到原点的距离加上圆的 半径。 因为点(-22,-1)到原点的距离为3, 所以所求最大值为4。 故选D。 点评:解决此类与复数的模的最值相关 的综合问题时,经常通过复数的模的几何意 义与基本性质加以数形结合,利用直观想象 思维来分析与复数的模相关的几何图形、动 点轨迹及变化规律等,从而得以巧妙确定复 数的模的最值。 四、法则的应用 复数运算的几何意义与平面向量的加减 法的几何意义相同,均可应用平行四边形法 则。特别是在涉及复数的模、平面向量的模 等的运算问题中,经常可以利用相关法则进 行化归与转化,从而实现问题的巧妙解决。 例 4 设复数z1,z2 满足|z1|=|z2| =2,|z1+z2|= 3,则|z1-z2|= 。 解析:由于|z1|=|z2|=2,|z1+z2|= 3,巧妙利用复数模的基本性质,结合公式 |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2),可 得|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2)-|z1+z2|2= 2(22+22)-(3)2=13,所以|z1-z2|= 13。 故填 13。 点评:借助平行四边形法则下复数模的 基本性质,以及公式的应用,是解决与复数的 模、平面向量的模等相关问题比较巧妙的一 种方式,技巧性强,