剖析高考全国卷中计数原理的几个核心问题-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

剖析高考全国卷中计数原理的几个核心问题 ■湖南省郴州市第二中学 陈 伟 计数原理、排列组合与二项式定理常 出现在 高 考 数 学 试 卷 的 选 择 题 与 填 空 题 中。该类问题强调数学在生活和生产中的 应用价值,是培养同学们数据分析、数学建 模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养的 重要工具。下面笔者根据教材内容和近几 年高考题型,对本章内容的几个核心问题 进行分析,希望能帮助同学们更好地进行 高考备考复习。 一、两个计数原理 1.分类计数问题 例 1 设集合 A={(x1,x2,x3,x4, x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集 合A 中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+ |x4|+|x5|≤3”的元素个数为( )。 A.60 B.90 C.120 D.130 解析:分以下三种情况讨论。 (1)|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|= 1,则上述五个数中有一个为1或-1,其余四 个数为零,此时集合 A 中的元素有C15C12= 10(个); (2)|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|= 2,则上述五个数中有两个数为1或-1,其余 三个数为零,其中这两个数的所有可能搭配 有22=4(种),此时集合A 中的元素有4C25= 40(个); (3)|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|= 3,则上述五个数中有三个数为1或-1,其余 两个数为零,其中这两个数的所有可能搭配 有23=8(种),此时集合A 中的元素有8C35= 80(个)。 综上所述,集合 A 中的元素共有10+ 40+80=130(个)。故选D。 点评:分类计数是计数原理中非常重要 的方法之一,理解问题的要求和限制条件非 常关键。将问题中的对象分成不同的类别, 然后分别计算每个类别的计数。解决分类计 数问题需要多多练习,通过解决各种类型的 问题,以提高解题能力。 2.分配问题 例 2 有2男2女共4名大学毕业生 被分配到A,B,C 三个工厂实习,每人必须 去一个工厂且每个工厂至少去1人,且A 工 厂只 接 收 女 生,则 不 同 的 分 配 方 法 种 数 为( )。 A.12 B.14 C.36 D.72 解析:按A 工厂分类,第一类:A 工厂仅 接收1人的分配方法有C12C23A22=12(种);第 二类:A 工厂接收2人的分配方法有C22A22= 2(种)。综 上 可 知,不 同 的 分 配 方 法 共 有 12+2=14(种)。 故选B。 点评:在分组分配问题中,首先要明确问 题要求和限制条件,包括对象数量、组的个 数、是否允许重复分配等。根据问题性质选 择排列或组合方法,有时候还要考虑对象顺 序和组的顺序要求,使用乘法或加法原理处 理独立或多样的分配方式。同时,还要特别 注意任何额外的约束条件,如组大小的限制。 二、排列组合问题 1.捆绑法、插空法的应用 例 3 (多选题)现有2名男生和3名 女生,在下列不同条件下进行排列,则其中说 法正确的是( )。 A.排成前后两排,前排3人后排2人的 排法共有120种 B.全体排成一排,女生必须站在一起的 排法共有36种 C.全体排成一排,男生互不相邻的排法 共有72种 D.全体排成一排,甲不站排头,乙不站 排尾的排法共有72种 解析:对于选项A:从5人里面抽出3人 站在前排且全排列,有C35A33 种,剩余2人在 后排全排列,有 A22 种,则满足条件的排法共 有C35A33A22=120(种),故A正确; 对于选项B:因为女生必须站在一起,所 以先将女生捆绑一起且全排列,有 A33 种,再 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年12月 将捆绑的女生与男生一起全排列,有 A33 种, 则满足条件的排法共有A33A33=36(种),故B 正确; 对于选项C:先将女生全排列,有A33 种, 此时共产生4个空,由于男生互不相邻,则2 个男生插空即可,有A24 种,则满足条件的排 法共有A33A24=72(种),故C正确; 对于选项D:甲不站排头,乙不站排尾,考 虑反面,甲站排头的排法有A44 种,乙站排尾的 排法有 A44 种,甲站排头,乙站排尾的排法有 A33 种,从而甲不站排头,乙不站排尾的排法共 有A55-2A44+A33=78(种),故D错误。 故选ABC。 点评:在解决有限制条件的排队问题时, 常用捆绑法、插空法、隔板法、特殊元素优先 法等。要理解问题的要求和限制,快速地确 定对象的性质和数量。因此,我们要对不同 的条件进行总结和归类,这样有助于解决各 种有限制条件的排列组合问题。 2.几何要素的分组分类计数问题 例 4 以长方体ABCD-A1B1C1D1 的 任意