计数原理的解题策略及技巧-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■北京师范大学台州附属高级中学 吴锭昂 计数原理问题在高考中大部分以选择题 或填空题的形式考查。从解题角度来看,注 重本原性思维的培养,强化通性通法的理解 与应用,同时淡化了技巧。本文由2023年高 考真题和模拟试题出发,归纳了计数原理考 查的几类常见题型,并总结了一些答题策略 及技巧,希望对同学们的复习能有所帮助。 题型一、两个原理的基础运用 分类加法原理和分步乘法原理是计数原 理的基石,也是最基础的方法,而其他复杂的 计数与排列组合问题也是建立在这两个原理 的基础上去研究和解决的。 例 1 (2023年新高考Ⅰ卷13)某学校 开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修 课,学生需从这8门课中选修2门或3门课, 并且每类选修课至少选修1门,则不同的选 课方案共有 种(用数字作答)。 解析:若选2门,则只能各选1门,有 C14C14=16(种);若选3门,则分体育类选修课 选2门,艺术类选修课选1门,或体育类选修 课选1门,艺术类选修课选2门,有C14C24+ C24C14=24+24=48(种)。综上可得,不同的 选择方案共有16+48=64(种)。故填64。 点评:本题是对分类加法原理和分步乘 法原理的综合运用。首先抓住题目要做什么 事,选课,选2门或者选3门这两件事情是用 “或”连接的,所以是并列关系,运算时用加 号。在选2门时,选1门体育类选修课和选1 门艺术类选修课这两件事情是必须都要发生 的,可以认为是用“且”来连接的,所以用乘 法。而选3门课时,有2+1和1+2这两种 不同的选择方式,这两种情况是用“或”来连 接的,故使用加法运算。抓住事件的核心流 程,将一件事分成几件事,再判断这几件事之 间的逻辑关联词是“或”还是“且”,则很容易 将问题解决。 题型二、简单排列组合问题 排列组合问题类型多,灵活程度高,易错 点多,涉及的方法也比较多,首先,要灵活运 用捆绑法、插空法、隔板法等基础方法,同时 要具备先特殊后一般,正难则反等数学思维; 其次,要熟悉平均分堆、定序、错排等常见模 型,从而快速地解决此类问题。就从今年高 考来看,排列组合问题的考查难度不大,只要 运用基础的计数原理和简单的排列数组合数 就能够解决。 例 2 (2023年全国乙卷理7)甲乙两 位同学从6种课外读物中各自选读2种,则 这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选 法共有( )。 A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 解法1:由题意得甲乙两人共阅读了3本 书,选出1本书两个人都阅读,剩下2本书给 甲乙两人全排列,故符合题意的选法共有 C36C13A22=120(种)。 解法2:先选2本书给甲阅读,再从这2 本书中选1本书给乙阅读,再从剩下4本书 中选1本书给乙阅读,故符合题意的选法共 有C26C12C14=120(种)。 解法3:先选1本书给甲乙都读,再在剩 下的5本书里挑选2本书给甲乙排列,故符 合题意的选法共有C16A25=120(种)。 解法4:可将“甲乙都读”看作“丙读”,则本 题可转化为6本书给甲乙丙三人读,每人的读 物都各不相同,即6本书选3本给3个人排列, 故符合题意的选法共有A36=120(种)。 解法5:可从反面思考,甲乙两人各选择 2本书,再排除读的2本书都一样和2本书都 不一样的情况,故符合题意的选法共有C26C26 -C26-C26C24=120(种)。故选C。 点评:先整理事情的逻辑思路,梳理好步 13 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年12月 骤后,关注每个步骤是否有顺序,再对每一个 步骤准确地使用排列数和组合数进行刻画, 即可获得正确结果。对于题目不同的理解方 法能够列出不同的表达式,但是殊途同归。 例如,本题前四种方法的逻辑思路都不同,本 质都是对步骤进行梳理并用分步乘法原理进 行运算,只有方法五利用了反面情况进行解 决,解决过程用了分类加法原理。 例 3 (2023年浙江模拟)甲、乙、丙3 人去食堂用餐,每个人从A,B,C,D,E 这5 种菜中任意选用2种,则A 菜有2人选用、B 菜有1人选用的情形共有( )。 A.54种 B.81种 C.135种 D.162种 解析:A 菜有2人选用有C23 种,比如甲、 乙选用了 A 菜,①甲、乙之中有1人选用了 B 菜,有C12 种,若甲用了B 菜,则乙从C,D, E 中任意选用1种,有C13 种,丙从C,D,E 中任意选用2种,有C23 种,故共有C23C12C13C23 =54(种);②丙选用了B 菜,丙再从C,D,E 中任意选用1种,有C13 种,甲、乙再从C,D, E 中各任意选用1种,有 C13C13 种,故共有 C23C13C13C13=81(种);由①②可知,所有的情形 共有54