合理构建模型，正确计数应用-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■江苏省南京市雨花台中学 谢晨明 涉及排列组合的计数综合问题,一直是 高中数学中的一个重点与难点之一,其也是 解决概率、统计及相关应用问题的一个基础 知识点。排列组合及其综合应用问题不仅内 容抽象,题型多样,而且解法灵活,不易掌握。 在具体解答排列组合及其综合应用问题时, 要注意分析题型类别,抓住问题的本质与内 涵,构建相应的特殊模型,采取恰当的技巧与 方法来处理问题。本文结合实例,重点就排 列组合中的定序问题、分排问题、分组问题、 相同元素问题等的常见类型与对应的解题策 略进行相应的讲解与剖析。 一、定序问题 例 1 身高互不相同的7名同学站成 一排,其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮 排列的排法有 种。(用数字作答) 分析:根据题设条件,先在7个位置上排 甲、乙、丙之外的四人,留下三个空位,甲、乙、 丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动入 列即可;还可以通过缩倍法,先不考虑甲、乙、 丙三人的情况直接将7名同学全排列,再除 以甲、乙、丙三人自左向右从高到矮的排列数 得以求解。 解法一:先在7个位置上排甲、乙、丙之 外的四人,有A47 种排法,留下三个空位,甲、 乙、丙三人按从高到矮,自左向右的顺序自动 入列,只有1种排法,所以符合题意的排法共 有A47=840(种)。 解法二:将7名同学全排列,有 A77 种排 法,因为甲、乙、丙三人自左向右,从高到矮排 列,所以符合题意的排法共有A 7 7 A33 =840(种)。 故填840。 方法总结:一般地,对于某些元素的顺序 固定型问题,解决时有两种方法:(1)缩倍法: 先不考虑限制条件,所有元素全排列,再除以 定序元素的全排列;(2)空位(或占位)法:在 总位置中,安排非定序元素的位置,然后对定 序元素进行排列时,只有1种排法。例如,已 知n个不同的元素进行排列,要求其中 m (m≤n,n∈N*,m∈N*)个元素相对顺序固 定不变,则有A n n Amm 种不同的排法,或从n 个位 置中排m 个元素之外的n-m 个元素,再放 这定序的 m 个元素,则共有 An-mn 种不同的 排法。对于给定元素顺序确定,再插入其他 元素进行排列的问题,若顺序确定的元素为 n 个,新插入的元素为 m 个,则排列数为 (m+n)! n! 。 二、分排问题 例 2 (多选题)现有17名同学需要站 成两排,前排7人,后排10人,则不同站法的 种数为( )。 A.A77A1010 B.A717A1010 C.A717+A1010 D.A1717 分析:根据题设条件,从不同思维视角切 入,依次分析第一排和第二排的排法数目,由 分步计数原理计算可得答案;或直接将17人 排成一排,左边7人安排在第一排,右边的10 人安排在第二排,再计算出不同站法的种数 即可。 解:依题意,17名同学中选7名同学排 在前排,有 A717 种方法,剩下10名同学全排 在后排,有A1010 种方法,根据分步乘法计数原 理可知,共有A717A1010 种站法,故选项B正确; 直接将17名同学所站的前后排视为一 排,左边7人安排在第一排,右边10人安排 在第二排即可,共有A1717 种站法,故选项D正 确。 61 解题篇 创新题追根溯源 高考数学 2023年12月 故选BD。 方法总结:多排元素的分排问题通常可 简化为一排考虑,回归单一排列,进而结合相 关的条件与知识加以分析与应用;也可以对 分排问题进行分步处理,利用逐排的安排情 况,再通过分步计数原理来解决。 三、分组问题 例 3 将5名北京冬奥会志愿者分配 到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目 进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每 个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配 方案共有( )。 A.60种 B.120种 C.240种 D.480种 分析:根据题目条件,要正确理解题设场 景中的5名志愿者与对应的4个项目之间的 联系与内涵,通过限制条件的约束,结合先分 组再分配的计数规划,遵循“先组后排”的计 数原则,对不同的分配方案加以列式与计算。 解:结合题设中的限制条件可知,其中只 有2名志愿者分在同1个项目,其他志愿者 是每人1个项目,那么先从5名志愿者中选 出2名作为1组,此时有C25 种情况,在此基 础上,进一步将分好的4组分配到4个项目 中去进行全排列,此时有A44 种情况,利用分 步计数原理可知,符合题意的分配方案共有 C25·C44=240(种)。 故选C。 方法总结:解决此类分组分配问题,要 注意结合题设条件限制进行必要的分组处 理,涉及均分、不均分等不同的分组类型, 在此基础上进一步加以排列与分配。具体 的解题技巧与策略如下:(1)分配与分组问 题的公式:平均分组后再分项目时,对应每