归类剖析概率中的易错点-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■河南省濮阳市第一高级中学 袁 媛 概率是高考考查的重点内容,逻辑性强, 知识点相对较多。概率类试题需要将题意进 行语义转化、符号转化或提取数学模型,而很 多同学不能准确把握题目的含义,究其原因 是对概念、法则、公式、定理一知半解,机械模 仿,死记硬背,从而不能正确地解决问题。因 此,弄清知识的来龙去脉,剖析概念的内涵尤 为重要。 易错点一、忽略概率的非负性致误 例 1 设 X 是一个离散型随机变量, 其分布列如表1所示,则q等于( )。 表1 X -1 0 1 P 13 1-2q 3q 2-q+ 1 3 A. 2 3 或 1 3 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 解析:由离散型随机变量的性质可得 1 3+1-2q+3q 2-q+ 1 3=1 ,即(3q-1)(3q -2)=0,解得q= 1 3 或q= 2 3 。当q= 2 3 时, 1-2q<0,不合题意,所以q= 1 3 。故选B。 易错点拨:在求离散型随机变量的分布 列时,若概率用字母表示,则需要注意隐含条 件:每个概率大于0,利用概率和为1进行 验证。 易错点二、混淆互斥事件、对立事件与相 互独立事件致误 例 2 (多选题)甲、乙两个盒子中各装 有4个相同的小球,甲盒子中小球的编号依 次为1,2,3,4,乙盒子中小球的编号依次为 5,6,7,8,同时从两个盒子中各取出1个小 球,记下小球上的数字。记事件 A 为“取出 的数字之和为偶数”,事件B 为“取出的数字 之和等于9”,事件C 为“取出的数字之和大 于9”,则下列结论正确的是( )。 A.A 与B 是互斥事件 B.B 与C 是对立事件 C.A 与C 不是相互独立事件 D.A 与B 是相互独立事件 解析:从两个盒子中取出的两个数字之 和只有2种结果:偶数和奇数。而“数字之和 为9”是结果为奇数的其中一种情况,所以事 件A 与B 是互斥事件而不是对立事件,选项 A正确。从两个盒子各取1个小球,结果共 有4×4=16(种),其中数字之和为偶数的有 8种;数字之和等于9的有4种:5+4,6+3, 7+2,8+1;数字之和大于9的有6种:6+4, 7+3,7+4,8+2,8+3,8+4。所以P(A)= 8 16= 1 2 ,P(B)= 4 16= 1 4 ,P(C)= 6 16= 3 8 。 因为P(B)+P(C)= 5 8≠1 ,所以B 与C 不 是对立事件,选项B错误。事件AC 为“取出 的数字之和为偶数且大于9”,其结果有4 种:6+4,7+3,8+2,8+4,所以 P(AC) = 4 16= 1 4 ,显然P(AC)≠P(A)P(C),所 以A 与 C 不 是 相 互 独 立 事 件,选 项 C正 确。因为当取出的数字之和为偶数时,不 可能出 现 取 出 的 数 字 之 和 等 于9这 种 情 况,所以P(AB)=0,而 P(A)P(B)= 1 8 ≠0,所以事件A 与B 不是相互独立事件, 选项D错误。故选 AC。 易错点拨:判断是否为互斥事件、对立事 件的关键为:互斥事件在一次试验中不能同 时发生;对立事件是在一次试验中有且仅有 一个发生的两个事件,是互斥事件的一种特 82 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2023年12月 殊情况。对立事件和互斥事件都不可能同时 发生,但对立事件必有一个要发生,而互斥事 件可能都不发生,所以对立事件一定是互斥 事件,互斥事件不一定是对立事件。相互独 立事件是指一个事件的发生与否对另一个事 件发 生 的 概 率 没 有 影 响,判 断 的 关 键 是 P(AB)=P(A)P(B)是否成立,而不是单纯 地凭借主观感觉进行判断,相互独立事件可 能是互斥事件也可能不是互斥事件,而互斥 事件一定不是相互独立事件。 易错点三、混淆条件概率P(B|A)与积 事件P(AB)的概率致误 例 3 从1,2,…,10十个数字中,甲、 乙两人先后各任取一个数(不重复),已知甲 取到的数是5的倍数,则甲取到的数大于乙 取到的数的概率为 。 解析:设事件 A 表示“甲取到的数是5 的倍数”,事件B 表示“甲取到的数大于乙取 到的数”,可得 P(A)= 2 10= 1 5 ,P(AB)= C14+C19 C110C19 = 13 90 ,所以甲取到的数大于乙取到的数 的概率为P(B|A)= P(AB) P(A)= 13 18 。故填13 18 。 易错点拨:概率P(B|A)与P(AB)的区 别:(1)在P(B|A)中,事件A,B 发生有时间 上的差异,A 先B 后;在P(AB)中,事件A, B 同时发生。(2)样本空间不同,在P(B|A) 中,事件 A 成为样本空间;在P(AB)中,样 本空间仍为Ω,因而有P(B|A)≥P(AB)。 易错点四、