高考统计题的热点题型与解法-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■山西省吕梁市贺昌中学 刘鹏飞 近几年高考关于统计问题越来越注重对 数据的分析处理能力的考查,考查知识点比 较全面,如频率分布直方图、回归分析、独立 性检验等。这需要同学们认真读题,读懂题 意,尤其是理清题目中数据的特点,这样就能 利用所学的统计知识来解决。 题型一、统计图表中的数据分析问题 统计图表的类型非常丰富,扇形图直 观显示各部分所占总体的百分比,折线图 直观显示数据的变化趋势,直方图直观显 示数据的分布情况等。解答这类题目时, 要准确识图,分析数据的变化或分布规律, 从图表中提取关键信息进行定性判断或定 量计算,如求样本数据的众数、中位数、平 均数、方差等。 例 1 某校1 500名学生参加交通安 图1 全知识竞赛,随机抽取了 100名学生的竞赛成绩 (单位:分),成绩的频率 分布直方图如图1所示, 则下 列 说 法 正 确 的 是 ( )。 A.频率分布直方图中a的值为0.004 5 B.估计这100名学生竞赛成绩的第60 百分位数为80 C.估计这100名学生竞赛成绩的众数为80 D.估计总体中成绩落在[70,80)内的学 生人数为500 解析:由10×(2a+3a+7a+6a+2a) =1,可得a=0.005,故 A错误;可知每组的 频率依次为0.10,0.15,0.35,0.30,0.10,前 三组的频率和为0.10+0.15+0.35=0.6, 所以这100名学生竞赛成绩的第60百分位 数为80,故B正确;因为[70,80)的频率最 大,所以这100名学生竞赛成绩的众数为75, 故C错误;总体中成绩落在[70,80)内的学生 人数为0.35×1 500=525,故D错误。故选 B。 点评:频率分布直方图的纵轴表示 频率 组距 , 所以每组样本的频率是对应矩形的面积。此 题先根据频率之和为1求出a 的值,然后根 据各组的频率求第60百分位数、众数,以及 在[70,80)内的学生人数。 题型二、回归模型的分析与建立问题 根据两个变量的散点图,如果样本点分 布在一条直线附近,那么两个变量具有线性 相关性,可以建立一元线性回归模型。如果 两个变量非线性相关,那么可以根据散点图 的具体特征,通过换元,转化成线性回归模 型。同时,要会根据题目给出的公式计算相 关系数和决定系数。 例 2 为了研究某种细菌随天数x 变 化的繁殖个数y,收集数据如表1所示: 表1 天数x 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y 3 6 13 25 45 100 (1)判断ŷ=̂bx+̂a(̂a,̂b为常数)与ŷ= ĉ1eĉ2x(̂c1,̂c2 为常数,且ĉ1>0,̂c2≠0)哪一个 适宜作为繁殖个数y 关于天数x 变化的回归 方程类型? (2)对于非线性回归方程ŷ=̂c1eĉ2x (̂c1, ĉ2 为常数,且ĉ1>0,̂c2≠0),令z=ln y,可以 得到繁殖个数的对数z关于天数x 具有线性 关系及一些统计量的值(表2)。 63 解题篇 经典题突破方法 高考数学 2023年12月 表2 􀭺x 3.50 􀭵y 32 􀭵z 2.85 ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)2 17.5 ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y) 307 ∑ 6 i=1 (xi -􀭺x)(zi -􀭵z)12.12 ①证 明: 对于非线性回 归 方 程 ŷ = ĉ1eĉ2x,令z= ln y,可 以 得 到繁殖个数的 对数z关于天 数x 具有线性 关系(即 ẑ= β̂x+̂α,̂β,̂α 为 常数); ②根据①的判断结果及表中数据,建立 y 关于x 的回归方程(系数保留2位小数)。 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…, (un,vn),其回归直线方程v̂=̂βu+̂α 的斜率 和截距的最小二乘法估计公式分别为β̂= ∑ n i=1 (ui -􀭵u)(vi -􀭵v) ∑ n i=1 (ui -􀭵u)2 ,̂α=􀭵v-̂β􀭵u。 解析:(1)如图2,作出繁殖个数y 关于 图2 天数x 变化的散点图。观察 散点图知,样本点分布在一 条指 数 型 曲 线 周 围,所 以 ŷ=̂c1eĉ2x 更适宜作为繁殖个 数y 关于天数x 变化的回归 方程类型。 (2)①由(1)知,̂y=̂c1eĉ2x(̂c1,̂c2 为常数, 且ĉ1>0,̂c2≠0),又z=ln y,因此ln ŷ= ln(̂c1eĉ2x)=ln ĉ1+ln eĉ2x=ln ĉ1+̂c2x。 令α̂=ln ĉ1,̂β=̂c2,则有ẑ=̂βx+̂α,其中 β̂,̂α 为常数,所以繁殖个数的对数z 关于天 数x 具有线性关系。 ②由①知,