高考全国卷中统计小题的命题动向分析-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■湖南省郴州市教育科学研究院 汪昌华 高考对统计的考查主要围绕抽样、统计图 表、样本估计总体和统计推断四个方面。本文 聚焦近几年高考的热点问题,给出一些复习备 考的建议和对高考命题的一些看法,以期帮助 大家高效地备战高考,实现科学备考的目标。 考向一、分层抽样与样本均值、方差、百 分位数等融合 例 1 某高中有学生500人,其中男 生300人,女生200人,希望获得全体学生的 身高信息,按照分层抽样的方法抽取了容量 为50的样本。经计算得到男生身高样本均 值为170 cm,方差为17 cm2;女生身高样本 均值为160 cm,方差为30 cm2。下列结论中 正确的是( )。 A.男生样本容量为20 B.每个女生被抽到的概率均为 2 5 C.所有样本的均值为166 cm D.所有样本的方差为22.2 cm2 解析:男生样本容量为300× 50 500=30 , 故选项 A 错误;每个学生入样的概率均为 50 500= 1 10 ,故选项B错误;记男生样本为y1, y2,…,y30,均值为􀭵y,方差为s2男,女生样本为 z1,z2,…,z20,均值为􀭵z,方差为s2女,所有样本 均值为􀭺x,方差为s2,则􀭺x= ∑ 30 i=1 yi +∑ 20 j=1 zj 50 = 30􀭵y+20􀭵z 50 = 3 5 􀭵y + 2 5 􀭵z =166(cm),s2= 3 5 [s2男+(􀭵y-􀭺x)2]+ 2 5 [s2女 +(􀭵z-􀭺x)2]= 46.2(cm2),故选项C正确,选项D错误。 故选C。 点评:本题考查了概率、方差、均值等知 识,是一道综合性较强的题目。其中分层抽样 的均值和方差是新教材中增加的知识,教材中 推导了分层抽样的方差公式。在必修二216 页拓广探索第11题:已知总体划分为三层,采 用样本量比例分配的分层随机抽样,得到各层 抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为 l,􀭵x,s21;m,􀭵y,s22;n,􀭵z,s23。记总的样本平均数 为􀭵ω,样 本 方 差 为s2,则 有 如 下 两 个 结 论: (1)􀭵ω= l l+m+n 􀭺x+ m l+m+n 􀭵y+ n l+m+n 􀭵z; (2)s2= 1 l+m+n {l[s21+(􀭺x-􀭵ω)2]+m[s22+ (􀭵y-􀭵ω)2]+n[s23+(􀭵z-􀭵ω)2]}。 例 2 (多选题)已知一组样本数据 x1,x2,…,x15,其中xi=2i(i=1,2,…,15), 由这组数据得到另一组新的样本数据y1, y2,…,y15,其中yi=xi-20,则( )。 A.两组样本数据的样本方差相同 B.两组样本数据的样本平均数相同 C.y1,y2,…,y15 样本数据的第30百分 位数为-10 D.将两组数据合成一个样本容量为30 的新的样本数据,该样本数据的平均数为5 解析: 对于A,样本数据yi=xi-20,则 D(y)=D(x),即两组样本数据的样本方差 相同,A正确; 对于B,样本数据x1,x2,…,x15,其平均 数􀭺x= 2+4+…+30 15 =16 ,新的样 本 数 据 yi=xi-20,则新的样本数据的平均数􀭵y= 􀭺x-20=-4,B错误; 对于C,30×15%=4.5,则样本数据y1, y2,…,y15 的第30百分位数为第5个数据, 即-10,C正确; 对于D,将两组数据合成一个样本容量 为30的新的样本数据,则该样本数据的平均 数为 15×16+15×(-4) 30 =6 ,D错误。 故选AC。 9 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年12月 点评:分析两组数据,进而由平均数、方 差和百分位数的计算公式分析选项,综合可 得答案。有关两组数据之间的均值和方差的 结论在教材课后习题中亦有证明。由此可 见,统计中的一些结论的证明与应用也是高 考考查中的重点。比如,s2= 1 n [(x1-􀭺x)2+ (x2-􀭺x)2 + … + (xn -􀭺x)2]= 1 n∑ n i=1 x2i - 􀭺x2。 一般地,若两个变量xi,yi 满足yi=axi +b,其中a,b 为常数,则有以下两个结论: (1)􀭵y=a􀭺x+b; (2)s2y=a2s2x,sy=|a|sx。 考向二、统计中的数据分析 例 3 四名同学各掷骰子5次,分别记 录每次骰子出现的点数,根据四名同学的统 计结果,可以判断出一定没有出现点数6的 是( )。 A.平均数为3,中位数为2 B.平均数为3,方差为2.6 C.中位数为3,众数为2 D.中位数为3,方差为1.6 解析:对于A,当投掷骰子出现的结果为 1,1,2,5,6时,