高考全国卷中概率与统计问题的考向分析-《中学生数理化》高考数学2023年12月刊

■湖南省郴州市第一中学 李 强 概率是高考必考内容,着重考查同学们 的阅读能力与获取信息能力,考查热点问题 主要有古典概型,互斥事件,对立事件,相互 独立事件的概率求法,条件概率,离散型随机 变量的分布列,二项分布,超几何分布,正态 分布等。近几年的概率与统计试题,大多以 现实生活为背景,注重知识的综合应用,作为 考查实践能力的重要载体,命题者要求考生 会收集、整理、分析数据,能从大量数据中提 取有用的信息,建立数学模型,从而利用数学 原理与数学工具解决实际问题。考查同学们 的逻辑推理、数据分析、数学运算、数学建模 等核心素养。 考向一、古典概型的概率计算与相关概念 例 1 (多选题)如图1所示,是一个3 ×3九宫格,现从这9个数字中随机挑出3个 图1 不同的数字,记事件 A1:恰好挑 出的是1,2,3;记事件A2:恰好挑 出的是1,4,7;记事件A3:挑出的 数字里含有数字1。下列说法正 确的是( )。 A.事件A1,A2 是互斥事件 B.事件A1,A2 是独立事件 C.P(A1|A3)=P(A2|A3) D.P(A3)=P(A1)+P(A2) 解析:对于选项A:挑出的是1、2、3和挑 出的是1、4、7两个事件不可能同时发生,故 A正确; 对于选项B:事件A1,A2 不是独立事件, 故B错误; 对于选项C:P(A1|A3)= P(A1A3) P(A3) = 1 C39 P(A3) ,P(A2|A3)= P(A2A3) P(A3) = 1 C39 P(A3) ,所 以P(A1|A3)=P(A2|A3),故C正确; 对于 选 项 D:因 为 P (A3)= C11C28 C39 , P(A1)= 1 C39 ,P(A2)= 1 C39 ,所以 P(A3)≠ P(A1)+P(A2),故D错误。 故选AC。 评注:本题以古典概型概率的计算,以及 概率中互斥事件、独立事件的概念为载体,结 合排列组合有关知识,解答的关键是对概念 的清晰理解和条件概率公式的掌握,主要考 查同学们的运算求解与推理论证能力。 考向二、条件概率公式、全概率公式 例 2 (多选题)已知编号为1,2,3的 三个盒子,其中1号盒内装有两个1号球,一 个2号球和一个3号球;2号盒内装有两个1 号球,一个3号球;3号盒内装有三个1号球, 两个2号球。若第一次先从1号盒子内随机 抽取1个球,将取出的球放入与球同编号的 盒子中,第二次从该盒子中任取一个球,则下 列说法正确的是( )。 A.如果将10个相同的小球放入这三个盒 子内,允许有空盒子,则不同的放法有36种 B.第二次抽到3号球的概率为 11 48 C.如果第二次抽到的是3号球,则它来 自1号盒子的概率最大 D.在第一次抽到3号球的条件下,第二 次抽到2号球的概率为 1 3 解析:对于选项 A:把10个小球和三个 盒子排成一列有12个空(不含两端),再用2 根棍插入其中两个空,所以不同的放法有 C212=66(种),故A错误; 对于选项B:设A1 表示第一次抽取到1 号球,A2 表示第一次抽取到2号球,A3 表示 第一次抽取到3号球,所以 P(A1)= 1 2 , P(A2)=P(A3)= 1 4 ,设B3 表示第二次抽到 3号球,则P(B3)=P(A1B3)+P(A2B3)+ 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2023年12月 P(A3B3)=P(B3|A1)P(A1)+P(B3|A2) P(A2)+P(B3|A3)P(A3),而P(B3|A1)= P(B3|A2)= 1 4 ,P(B3|A3)= 1 6 ,所 以 P(B3)= 1 4× 1 2+ 1 4× 1 4+ 1 6× 1 4= 11 48 ,故 B正确; 对于选项C:第二次抽到的是3号球来 自1 号 盒 子 的 概 率 为 P (A1|B3)= P(B3|A1)P(A1) P(B3) = 6 11 ,第二次抽到的是3 号球来自2号盒子的概率为 P(A2|B3)= P(B3|A2)P(A2) P(B3) = 3 11 ,第二次抽到的是3 号球来自3号盒子的概率为 P(A3|B3)= P(B3|A3)P(A3) P(B3) = 2 11 ,所以第二次抽到的是 3号球来自1号盒子的概率最大,故C正确; 对于选项D:设B2 表示第二次抽到2号 球,则在第一次抽到3号球的条件下,第二次抽 到2号球的概率为P(B2|A3)= 1 3 ,故D正确。 故选BCD。 评注:本题以最常见的取球游戏为出发 点,重点考查条件概率的计算,结合排列组合 知识进行求解,具有很强的综合性。解答的 关键是重点理解取球的游戏规则,分情况讨 论,求出对应的条件概率,主要考查同学们的 逻辑推理与数学运算等核心素养。 考向三、离散型随机变